一个小游戏 --- 直觉和理论的悖论？

zhiqiangNovember 11, 2005 科学

一个游戏：持续的抛一个均匀硬币，直到抛到出现反面为止，假设在之前你抛除了 $k$ 次正面，你将得到 $2^{k+1}$ 次方这么多钱。

问题：你愿意花多少钱来玩这个游戏？

直觉上而言，一个人不可能愿意花1000块钱来玩这个游戏。但从概率上分析，将有 $1/2^{k+1}$ 的概率得到 $2^{k+1}$ 的钱，也就是你每次得到的钱的期望是无穷大( $k=0,1,2,\cdots$ 有无穷大取值)。也就是说从数学上而言，你值得为这个游戏花上任意多的本钱，比如说1000块钱。

两点可能的原因：

金钱的效应原因：在钱多到一定数量的时候，钱数本身已经失去了意义，比如说赢了 $2^{100}$ 和 $2^{101}$ 的钱对于个人而言产生的效应是一样的，但是在期望计算中，后者的分量还是前者的两倍。比如说人能够承受的钱的最高数量是 $2^40\sim 10000,0000,0000$ (已经世界首富了)，也就是说此时游戏的实际期望只有42块钱，也就是说这个游戏只值得用42块钱来玩。
无穷现金的庄家：在这个游戏里面，假设了庄家有足够的现金。是不是也就意味着你有足够乃至无穷的现金，才能跟庄家对抗？

以上两点是我想到的可能原因，也许不一定对，希望有兴趣的朋友继续讨论。

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At 2006.11.10 12:20, davidpeng said:

不是这样的。

假如你前面两次都输了，第三次赢了。前面两次输了2 4=6元；第三次赢了8元。因此你一共赢了2元而已。

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- At 2006.11.10 15:16, zhiqiang said:
  
  但是第三次可能会赢很多钱，那个概率计算是没有问题的，从数字上来说这个游戏游戏者的收益是无穷大。
  
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- At 2007.10.16 20:04, dir said:
  
  测试了一下，发现是与资金量有关系的，也就是说与你进行游戏的预定义次数有关系。
  如果你只有1万元，那么你接受5元的赌注会稳赚，接受10元的赌注大部分赚，即使亏也在可接受范围内，接受20元的赌注，则你是在进行一次9/10可能赔光一半本金的赌博，如果接受40元的赌注，那么你已经不太指望赢了。
  
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At 2007.08.24 10:25, 投资小问题 @ 阅微堂 said:

[...] 我的答案在这里。 [...]

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At 2007.08.24 10:57, chumsdock said:

这就是传说中终极问题的答案？lol

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At 2008.03.19 20:26, Marin said:

如果不设上限的话有足够的钱的话可以一直投下去直到赢

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At 2008.08.29 11:07, 严酷的魔王 said:

圣彼得堡问题

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