阅微堂 » 科学 http://zhiqiang.org/blog 科学，人文，民主 Thu, 17 Jul 2008 13:44:11 +0000 http://wordpress.org/?v=2.7-bleeding en 算法百科全书 - Encyclopedia of Algorithms http://zhiqiang.org/blog/posts/download-encyclopedia-of-algorithm.html http://zhiqiang.org/blog/posts/download-encyclopedia-of-algorithm.html#comments Wed, 16 Jul 2008 04:50:20 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/posts/download-encyclopedia-of-algorithm.html Xie Xie推荐了一本今年出版的一本新书，Encyclopedia of Algorithms，全书1200页，涵盖各类有名问题的算法，概率算法，近似算法，量子算法等。

翻了一下，很多算法都不是直接给出的，只是给出一些原理描述和参考文献。看来这本也真只能当当索引用了。

没事做的话可以先欣赏一下第698页的O(n)的平面图判定算法。

按照推荐人xiexie的说法，看在原书高达309欧元的价格份上，也得下载一本回来爽一爽。

听说个人blog上不要放版权材料，下载地址大家自己找吧。

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]]> http://zhiqiang.org/blog/posts/download-encyclopedia-of-algorithm.html/feed Proofs from the Book - 来自圣经的证明 http://zhiqiang.org/blog/posts/recommend-proofs-from-the-book.html http://zhiqiang.org/blog/posts/recommend-proofs-from-the-book.html#comments Thu, 19 Jun 2008 01:57:49 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/?p=802

"Good mathematics" could refer (in no particular order) to

...... Elegant mathematics (e.g. Paul Erdos's concept of "proofs from the Book" achieving a difficult result with a minimum of effort);

Terry Tao in What is Good Mathematics

我很早就听说过这本书，但真正引起我的兴趣是在看到那个Sylvester-Gallai定理的证明之后。

Sylvester-Gallai定理：平面上不全共线的n(n>2)个点，必有一条直线恰过其中两个点。

这个定理的最原始的证明我很早就见过，极端法的经典例子，很多人都知道；但书里给的方法可谓绝妙。这还说明不了什么，我们不能单为了绝妙而去弄不必要的证明。但同样的视角（对偶原理）可以用来证明Motzkin-Rabin定理，后者是我想了好久都没想出来怎么做的问题，而且这个定理其它的证明都繁复无比。

Motzkin-Rabin定理：平面上不全共线的n(n>2)个点，每个点红黑二染色后，存在一条直线穿过至少两个点且颜色全部相同。

书中这两个定理的证明已经有人翻译整理放到网上。

读一读这本书吧，你会喜欢上数学的。

Download 下载(英文版)
[Rapidshare]Proofs.from.the.Book.2004_3rd_.rar
[Mirror] http://depositfiles.com/files/2564309

注：这本书中文译名为《来自圣经的证明》，但也有说是《来自天书的证明》的。

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]]> http://zhiqiang.org/blog/posts/recommend-proofs-from-the-book.html/feed Windows游戏中的NP完全问题 http://zhiqiang.org/blog/posts/most-windows-game-are-np-complete.html http://zhiqiang.org/blog/posts/most-windows-game-are-np-complete.html#comments Fri, 13 Jun 2008 02:13:08 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/?p=798 上篇文章扫雷是NP完全问题之后，You Xu提到＂不光扫雷是NP 完全问题，空当接龙问题也极有可能是一个NP完全问题。目前最好的通用 planner只能解半副牌＂。他说对了，不光扫雷，Windows自带的游戏都是NP完全的。Windows自带的游戏除了扫雷，还有空当接龙和蜘蛛纸牌。

空当接龙是NP完全问题

论文：Malte Helmert, Complexity results for standard benchmark domains in planning, Artificial Intelligence Journal 143(2):219-262, 2003.

蜘蛛纸牌是NP完全问题

论文：Springer Berlin, Heidelberg, The Complexity of Solitaire, Mathematical Foundations of Computer Science 2007: 182-193, 2007

顺便提一下蜘蛛纸牌的可以获胜的概率高达82-91.5%。而我平时自己玩的时候20%都不到。差距啊。

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]]> http://zhiqiang.org/blog/posts/most-windows-game-are-np-complete.html/feed 扫雷是NP完全问题 http://zhiqiang.org/blog/posts/minesweeper-is-np-complete.html http://zhiqiang.org/blog/posts/minesweeper-is-np-complete.html#comments Wed, 11 Jun 2008 14:38:21 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/?p=797 本科时有同学扫雷最快可以在60多秒完成高级难度，让我这种最快130秒的人非常惭愧，当时就想着编一个全自动的扫雷程序，不过一直也没写。今天才知道，原来扫雷问题是NP完全的...

结果于2000年发表在Mathematical Intelligencer上，论文题目是Minesweeper is NP-complete，这里有作者的简单的问题和证明介绍。证明方法是证明扫雷问题可以编码任何逻辑电路，包括NP-hard的3SAT问题。作者还有一个非常直观的PPT演示证明过程，比如下图展示如何编码AND逻辑门：t=u\wedge v

它是NP完全问题说明如果程序要想完全正确，所费的时间最坏情况下将是指数的。不过我猜测对于大部分的扫雷的实例还是很容易的，而且NPC所用的规约实例特别大，所以编一个能较快速度解决大部分windows自带的那个高级难度的扫雷问题还是可行的，不知道是否已经有这方面的程序。

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使用类似Tarjan的线性中位数的方法，每次找每列中位数，然后找中位数的中位数，之后可以删除前一半列的上半部分或者后一半列的下半部分，这样可以实现复杂性O(n\log^2n)。

但是这个问题是有O(n)的算法的，在Top Language Google Group的Obtuse Sword的指点下，找到了这个问题的原始论文：Generalized Selection and Ranking: Sorted Matrices。事实上这篇论文证明了更强的结论：

对于一个n\times m(n\leq m)的矩阵，若每行和每列都是递增的，则可以在O(n\log2m/n)找到第k大的数。

算法的基本思路是将矩阵依次对半划分成更小的子矩阵，然后删除不可能包含所求中位数的子矩阵。通过对每次划分后子矩阵个数的估计，发现此算法时间复杂度为O(n\log2m/n)。

使用同样的技巧，可以证明更更强的结论(这个算法具体过程就没细看了):

一堆n_i\times m_i(n_i\leq m_i)的矩阵，若每个矩阵的每行和每列都是递增的，则selection problem（即找第k大的数）的时间复杂度为O(\sum n_i\log2m_i/n_i)。

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