VaR的相关指标和参数转换

1.相关指标

1.1.ES（Expected shortfall）

VaR衡量一个投资的收益的分位点，衡量未来在一定概率上的损失情况，但某些时候还不够，比如说卖出一个深度价外期权，它的VaR为0，但这不代表它没有风险。这类风险被称为尾部风险，可以用ES来衡量。

简单说来，ES指位于超出VaR的损失的的条件期望。假设X为预期收益，则：

$$\text{ES}_p = -E(X|X\leq-\text{VaR}_p)$$

除了ES外，它还有若干个称呼，比如Conditional VaR，平均VaR（average value at risk），尾部风险（expected tail loss）。

ES除了可以衡量其厚尾风险外，还有一个更重要的特征，它具有半可加性，即对于两个组合$P_1$和$P_2$，

$$\text{ES}(P_1+P_2)\leq \text{ES}(P_1) + \text{ES}(P_2)$$

这个特征使得对于一个大范围的风险限制可以分解到子单位上，只需要控制一个公司各个部门的ES，即控制了整个公司的ES。但VaR无法做到这一点，更详细的讨论见VaR：存在问题和应对方法（未完成）。

1.2.VaR的细分

一个组合由多个小组合或头寸组成，比如一个公司整体资产组合由各个部门的组合构成，一个组合也可以由不同类型的资产组成。其中小组合的风险可以用它本身的VaR衡量，但这样就忽略了和组合其它资产的相关性。更好的指标是增量VaR和成分VaR，用来衡量组合的一部分如何影响整个组合的风险。

首先定义一些符号，一个资产组合在第$i$个头寸上的暴露市值为$w_i$，那么其VaR可视为$w_i$的函数：$\text{VaR}= \text{VaR}(w_1, w_2, \cdots, w_n)$。

1.2.1.增量VaR（Incremental VaR）

增量VaR，是指当一个头寸加入到组合时，新增的VaR，或者说，从原组合删去一个头寸，所减少的VaR。

$\text{IVaR}_i(w_1, w_2, \cdots, w_n) = \text{VaR}(w_1, w_2, \cdots, w_n) - \text{VaR}(w_1, \cdots, w_{i-1}, 0, w_{i+1}, \cdots, w_n)$

增量VaR提供了很多信息。如果增量VaR小于0，表明新交易降低了风险，即为“对冲交易”。当想知道平掉哪个头寸可以最大限度消除VaR值，就从各个头寸的增量VaR入手。

但需要注意的是，各个头寸的增量VaR之和并不一定等于总VaR。

1.2.2.边际VaR（Marginal VaR）

边际VaR，是VaR对于单个头寸暴露市值的敏感性，亦即

$$\text{MVaR}_i(w_1, w_2, \cdots, w_n) = \frac{\partial \text{VaR}(w_1, \cdots, w_n)}{\partial w_i}$$

在实际计算中，通常使用

$$\text{MVaR}_i(w_1, w_2, \cdots, w_n) =\text{VaR}(w_1, \cdots, w_i) - \text{VaR}(w_1, \cdots, w_{i-1}, w_i-1, w_{i+1}, \cdots, w_n)$$

当投资者想减仓固定金额，同时想降低尽量多的风险时，他便可以选取边际VaR最大的头寸进行操作。另外，边际VaR还是一个中间指标，用来计算下面的成分VaR。

边际VaR与该头寸相对于该组合的Beta相关：

$$text{MVaR}_i = \beta_i \text{VaR}$$

1.2.3.成分VaR（Component VaR）

成分VaR等于每个头寸的暴露市值与其边际VaR（敏感性）的乘积：

$$\text{CVaR}_i(w_1, \cdots, w_n) = w_i \times \text{MVaR}_i(w_1, \cdots, w_n)$$

由于$VaR$是齐次函数，即对于任意$k$，均有

$$k\text{VaR(}w_1, \cdots, w_n) = \text{VaR}(kw_1, kw_2, \cdots, kw_n)$$

上式两边在$k=1$处对$k$求导数，便有

$$\begin{array}{rcl}\text{VaR}(w_1, \cdots, w_n) &=& \sum_{i=1}^n w_i\times\frac{\partial \text{VaR}(w_1, \cdots, w_n)}{\partial w_i}\\ &=&\sum_{i=1}^nw_i\times \text{MVaR}(w_1, \cdots, w_n) \\ &=&\sum_{i=1}^n \text{CVaR}_i(w_1, \cdots, w_n)\end{array}$$

这说明成分VaR是组合整体VaR的一种分解方式，代表每个头寸对于总风险的贡献值。事实上，这个分解在任何一个层面上成立。比如一个股票的组合，可以分解到各个行业。每个行业上的成分VaR将等于行业下各个股票的成分VaR之和，而组合总VaR又等于各个行业的成分VaR之和。在日常风险管理中，通常用成分VaR来衡量一个组合中各个头寸的风险。

如果使用边际VaR的beta的定义，由于组合各持仓的加权beta之和等于一，很自然地有成分VaR之和等于组合VaR。

1.3.不同风险软件中的定义差别

本文所采用的是《Value at Risk：金融风险管理新标准》里的定义和名称。

Risk Metrics的Risk Manager中的定义和上述不一致。它的Marginal VaR（MVaR）是指上面的增量VaR，而Incremental VaR（IVaR）是指上面的成分VaR，CVaR是指上面的Expected shortfall。

1.4.相对VaR（Relative VaR）

上面VaR针对实际盈亏金额，但对于某些资产组合，它更关心其相对于基准的表现。相对VaR即是用来衡量相对于基准的风险，记$X$为组合相对于其基准的超额收益，其分布函数为$F(x)=P(X\leq x)$，那么置信水平为$p$的VaR为：

$$\text{VaR}_p = -F^{-1}(1-p)$$

这种相对概念同样适用于ES、增量VaR和成分VaR。

2.计算不同参数下的VaR

VaR有两个主要参数，一个参数为置信水平，另一个为时间区间。在两种情况下需要进行转换，

1. 在已经得到一个VaR的情况下，快速估算另一组参数下的VaR值；
2. 不同机构公布的VaR的参数不一致，如何将其标准化为可互相比较的量。

当然，重新计算是最佳的选择。当计算使用历史模拟法或者蒙特卡洛模拟法，并且保存了过程数据的情况下，重新计算只需要在模拟的收益重新取分位点。U.S. Fedural Reserve便推荐这种方法。但是，在大多数情况下，重新计算既无必要，也不可能有足够数据（比如上面的第二种情况下，无法重新计算别人的VaR）。

2.1.不同置信水平的转换

常用的95%和99%置信水平的VaR转换关系为：

$$\text{VaR}_{95\%} = 0.70\times\text{VaR}_{99\%}$$

$$\text{VaR}_{99\%} = 1.41\times\text{VaR}_{95\%}$$

该转换方法和参数法计算出来的VaR是相容的，都内置假设：预期收益呈正态分布，如果对预期收益做其它假设，比如假设预期收益呈t分布，可得到类似的相关性。这类正态分布（或者其它分布）的假设并不总是合理的，特别是对于非线性资产（如期权），对这类资产的组合通常需要重新计算。

2.2.不同时间区间的转换

我们可以计算日VaR，也可以计算周VaR、10VaR，月VaR，一般来说可以用下面的转换公式：

$$n\text{-day VaR} = \text{1-day VaR} \times \sqrt{n}$$

该公式基于不同周期的波动率的转换关系。但需要注意两点，

1. 该公式同样假设组合未来收益呈正态分布，并不适合非线性资产的情况。
2. 当$n$过大时同样不适用，比如一个股票的日VaR大约为本金的3%，根据上面的公式，当时间区间足够长时，VaR将比本金还大，这是不可能的。当$n$比较大时，一般使用下面的转换公式：

$$n\text{-day VaR} = \tau\times\text{mtm} \times (e^{\log(1+\frac{\text{1-day VaR}}{\tau\times\text{mtm}})\times \sqrt{n}}-1)$$

该转换公式基于连续复合收益率的思想，其中mtm为VaR对应的市值，$\tau$为VaR和波动率之间的转换系数（95%VaR对应转换系数1.6449，99%VaR对应转换系数2.3263）。

Q.E.D., ©zhiqiang, 2011.06.17。请参考右边的相关文章列表。

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