VaR的相关指标和参数转换

作者:, 发表于

1.相关指标

1.1.ES(Expected shortfall)

VaR衡量一个投资的收益的分位点,衡量未来在一定概率上的损失情况,但某些时候还不够,比如说卖出一个深度价外期权,它的VaR为0,但这不代表它没有风险。这类风险被称为尾部风险,可以用ES来衡量。

简单说来,ES指位于超出VaR的损失的的条件期望。假设X为预期收益,则:

\[\text{ES}_p = -E(X|X\leq-\text{VaR}_p)\]

除了ES外,它还有若干个称呼,比如Conditional VaR,平均VaR(average value at risk),尾部风险(expected tail loss)。

ES除了可以衡量其厚尾风险外,还有一个更重要的特征,它具有半可加性,即对于两个组合 \(P_1\)\(P_2\)

\[\text{ES}(P_1+P_2)\leq \text{ES}(P_1) + \text{ES}(P_2)\]

这个特征使得对于一个大范围的风险限制可以分解到子单位上,只需要控制一个公司各个部门的ES,即控制了整个公司的ES。但VaR无法做到这一点,更详细的讨论见VaR:存在问题和应对方法(未完成)。

1.2.VaR的细分

一个组合由多个小组合或头寸组成,比如一个公司整体资产组合由各个部门的组合构成,一个组合也可以由不同类型的资产组成。其中小组合的风险可以用它本身的VaR衡量,但这样就忽略了和组合其它资产的相关性。更好的指标是增量VaR和成分VaR,用来衡量组合的一部分如何影响整个组合的风险。

首先定义一些符号,一个资产组合在第 \(i\) 个头寸上的暴露市值为 \(w_i\) ,那么其VaR可视为 \(w_i\) 的函数: \(\text{VaR}= \text{VaR}(w_1, w_2, \cdots, w_n)\)

1.2.1.增量VaR(Incremental VaR)

增量VaR,是指当一个头寸加入到组合时,新增的VaR,或者说,从原组合删去一个头寸,所减少的VaR。

\(\text{IVaR}_i(w_1, w_2, \cdots, w_n) = \text{VaR}(w_1, w_2, \cdots, w_n) - \text{VaR}(w_1, \cdots, w_{i-1}, 0, w_{i+1}, \cdots, w_n)\)

增量VaR提供了很多信息。如果增量VaR小于0,表明新交易降低了风险,即为「对冲交易」。当想知道平掉哪个头寸可以最大限度消除VaR值,就从各个头寸的增量VaR入手。

但需要注意的是,各个头寸的增量VaR之和并不一定等于总VaR。

1.2.2.边际VaR(Marginal VaR)

边际VaR,是VaR对于单个头寸暴露市值的敏感性,亦即

\[\text{MVaR}_i(w_1, w_2, \cdots, w_n) = \frac{\partial \text{VaR}(w_1, \cdots, w_n)}{\partial w_i}\]

在实际计算中,通常使用

\[\text{MVaR}_i(w_1, w_2, \cdots, w_n) =\text{VaR}(w_1, \cdots, w_n) - \text{VaR}(w_1, \cdots, w_{i-1}, w_i-1, w_{i+1}, \cdots, w_n)\]

用模拟法计算VaR时,边际VaR有更简单的方法获得,具体参考下面成分VaR的计算方法。

当投资者想减仓固定金额,同时想降低尽量多的风险时,他便可以选取边际VaR最大的头寸进行操作。另外,边际VaR还是一个中间指标,用来计算下面的成分VaR。

边际VaR与该头寸相对于该组合的Beta相关:

\[\text{MVaR}_i = \beta_i \text{VaR}\]

1.2.3.成分VaR(Component VaR)

成分VaR等于每个头寸的暴露市值与其边际VaR(敏感性)的乘积:

\[\text{CVaR}_i(w_1, \cdots, w_n) = w_i \times \text{MVaR}_i(w_1, \cdots, w_n)\]

由于 \(VaR\) 是齐次函数,即对于任意 \(k\) ,均有

\[k\text{VaR(}w_1, \cdots, w_n) = \text{VaR}(kw_1, kw_2, \cdots, kw_n)\]

上式两边在 \(k=1\) 处对 \(k\) 求导数,便有

\[\begin{array}{rcl}\text{VaR}(w_1, \cdots, w_n) &=& \sum_{i=1}^n w_i\times\frac{\partial \text{VaR}(w_1, \cdots, w_n)}{\partial w_i}\\ &=&\sum_{i=1}^nw_i\times \text{MVaR}(w_1, \cdots, w_n) \\ &=&\sum_{i=1}^n \text{CVaR}_i(w_1, \cdots, w_n)\end{array}\]

这说明成分VaR是组合整体VaR的一种分解方式,代表每个头寸对于总风险的贡献值。事实上,这个分解在任何一个层面上成立。比如一个股票的组合,可以分解到各个行业。每个行业上的成分VaR将等于行业下各个股票的成分VaR之和,而组合总VaR又等于各个行业的成分VaR之和。在日常风险管理中,通常用成分VaR来衡量一个组合中各个头寸的风险。

如果使用边际VaR的beta的定义,由于组合各持仓的加权beta之和等于一,很自然地有成分VaR之和等于组合VaR。

在模拟法中,各个资产的成分VaR等于各资产在产生VaR值的那个场景的损益,不需要单独计算VaR值。同时,边际VaR可从成分VaR反推。

1.2.4.不同风险软件中的定义差别

本文所采用的是《Value at Risk:金融风险管理新标准》里的定义和名称。

Risk Metrics的Risk Manager中的定义和上述不一致。它的Marginal VaR(MVaR)是指上面的增量VaR,而Incremental VaR(IVaR)是指上面的成分VaR,CVaR是指上面的Expected shortfall。

1.3.相对VaR(Relative VaR)

上面VaR针对实际盈亏金额,但对于某些资产组合,它更关心其相对于基准的表现。相对VaR即是用来衡量相对于基准的风险,记 \(X\) 为组合相对于其基准的超额收益,其分布函数为 \(F(x)=P(X\leq x)\) ,那么置信水平为 \(p\) 的VaR为:

\[\text{VaR}_p = -F^{-1}(1-p)\]

这种相对概念同样适用于ES、增量VaR和成分VaR。

2.计算不同参数下的VaR

VaR有两个主要参数,一个参数为置信水平,另一个为时间区间。在两种情况下需要进行转换,

  1. 在已经得到一个VaR的情况下,快速估算另一组参数下的VaR值;
  2. 不同机构公布的VaR的参数不一致,如何将其标准化为可互相比较的量。

当然,重新计算是最佳的选择。当计算使用历史模拟法或者蒙特卡洛模拟法,并且保存了过程数据的情况下,重新计算只需要在模拟的收益重新取分位点。U.S. Fedural Reserve便推荐这种方法。但是,在大多数情况下,重新计算既无必要,也不可能有足够数据(比如上面的第二种情况下,无法重新计算别人的VaR)。

2.1.不同置信水平的转换

常用的95%和99%置信水平的VaR转换关系为:

\[\text{VaR}_{95\%} = 0.70\times\text{VaR}_{99\%}\]

\[\text{VaR}_{99\%} = 1.41\times\text{VaR}_{95\%}\]

该转换方法和参数法计算出来的VaR是相容的,都内置假设:预期收益呈正态分布,如果对预期收益做其它假设,比如假设预期收益呈t分布,可得到类似的相关性。这类正态分布(或者其它分布)的假设并不总是合理的,特别是对于非线性资产(如期权),对这类资产的组合通常需要重新计算。

2.2.不同时间区间的转换

我们可以计算日VaR,也可以计算周VaR、10VaR,月VaR,一般来说可以用下面的转换公式:

\[n\text{-day VaR} = \text{1-day VaR} \times \sqrt{n}\]

该公式基于不同周期的波动率的转换关系。但需要注意两点,

  1. 该公式同样假设组合未来收益呈正态分布,并不适合非线性资产的情况。
  2. \(n\) 过大时同样不适用,比如一个股票的日VaR大约为本金的3%,根据上面的公式,当时间区间足够长时,VaR将比本金还大,这是不可能的。当 \(n\) 比较大时,一般使用下面的转换公式:

\[n\text{-day VaR} = \tau\times\text{mtm} \times (e^{\log(1+\frac{\text{1-day VaR}}{\tau\times\text{mtm}})\times \sqrt{n}}-1)\]

该转换公式基于连续复合收益率的思想,其中mtm为VaR对应的市值, \(\tau\) 为VaR和波动率之间的转换系数(95%VaR对应转换系数1.6449,99%VaR对应转换系数2.3263)。

Q.E.D.


上一篇:VaR的定义和起源2011年6月12日
VaR是一个综合考虑杠杆、敏感程度、市场差异、相关性的风险度量结果,可以在各个层面进行分割和汇总。没有其它指标有类似的效果。这使得VaR在商业银行和投资机构中大规模使用,另一方面也推动了VaR计量技术和相关软件的发展。

下一篇:VaR模型中的风险因子和估值框架2011年6月20日
VaR的算法核心有两块,这里介绍其中的一块。要计算风险,先要会估值。但计算风险的估值不需要其它目的所要求那么高的准确性,所以这里也会介绍部分估值法。


  • 支持使用微薄、微信和QQ的账户登陆进行评论。由各自网站直接认证,不会泄露你的密码。
  • 登陆后可选择分享评论到所绑定的社交网络,如微薄、人人和QQ空间。
  • 评论提交后无法修改。如需修改,请删除原评论再重新提交。
  • 评论支持LaTeX代码,行内公式请用\(a+b=c\),行间公式请用\[a+b=c\]。公式只支持英文字符。