参数法和模拟法计算VaR

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回顾VaR的定义, \(F\) 为未来收益的累计分布函数,那么

\[\text{VaR}_p = -F^{-1}(1-p)\]

所以,VaR本质上为未来收益的分位点。要计算它,最重要的是估计未来收益 \(X\) 的分布。在实际计算中有两种大的方向:

  1. \(X\) 满足某种分布(通常使用正态分布)的假设上,估计该分布的参数,便可确定整个分布,然后求分位点。
  2. \(X\) 进行抽样,通过样本的分位点估计整个分布的分位点。

第一个方向被称为参数法;后一个方向成为模拟法,在实际使用中,又可分为历史模拟法和蒙特卡洛模拟法两种。对于这三种方法,不单需要知道它们的计算方法,更重要地是了解它们的假设和适用范围。以下提到的风险因子、风险映射、风险矩阵、估值等概念,已在【VaR Primer】风险因子和估值框架里详细描述。其它比如风险矩阵等计算方法将在【VaR Primer】VaR的参数选择和计算细节里给出。

1.参数法

在参数法中,通常假设未来收益 \(X\) 满足正态分布,这个假设的合理性在于:

  1. 风险因子的短期表现如股票收益率、利率变动等可以用联合正态分布近似
  2. 大多数资产都可以表示为风险因子的线性组合,并且
  3. 正态分布的任意线性组合仍然是正态分布,故一个组合的预期收益分布还是正态分布,由其方差唯一确定。

参数法的计算步骤:

  1. 选择风险因子
  2. 计算风险因子的风险矩阵 \(\Sigma\) (通常选取指数加权法,详情见【VaR Primer】VaR的参数选择和计算细节)。
  3. 计算组合分解到各个风险因子上的暴露市值(或者delta) \(w=(w_1, w_2,\cdots, w_n\)
  4. 计算组合的事前波动率 \(\sigma = \sqrt{w\Sigma w'}\)
  5. 然后将波动率转化为VaR:

\[\text{VaR}_{95\%} = 1.645\times \sigma\]

\[\text{VaR}_{99\%} = 2.40 \times \sigma\]

2.模拟法

模拟法是在模拟场景下,计算组合的收益样本,通过大量的模拟场景,取这些模拟出来的收益样本的分位点得到VaR。根据生成样本的方法,有历史模拟法和蒙特卡洛模拟法,其中历史模拟法使用历史实际场景,而蒙特卡洛模拟法则随机生成场景(基于某种假设的分布和用历史数据拟合的参数)。

模拟法的合理性基于:当样本数量足够多时,样本分位点无限接近于真实的VaR,即样本分位点是VaR的无偏估计。

2.1.历史模拟法

历史模拟法指使用历史上实际发生的场景作为模拟场景,然后计算当前组合在历史场景下的损益情况。这有点像电影回放。

历史模拟法无需对风险因子的收益分布作任何假设,这使得可以完美地描述尾部。但历史法基于一个重要的假设:过去历史会在未来重演。这一方面,可能忽略掉可能的尾部风险;另一方面,又可能将不可能发生的尾部带入到未来。

2.2.蒙特卡洛模拟法

历史模拟法的一个缺陷在于,计算结果依赖于少数几个极端历史样本,其它样本对结果几乎没有影响。蒙特卡洛模拟法则可补足这一点,它大概分为几步:

  1. 估计风险因子的分布:假设分布类型和计算分布参数。如果为联合正态分布,则计算风险矩阵。
  2. 根据分布生成随机场景(通常500个以上的场景)
  3. 计算组合中各个头寸在每个场景下的估值,得到在各个场景下的组合损益
  4. 根据上一步得到的组合损益样本,取对应的分位点

蒙特卡洛模拟法与参数法一样的地方在于,它也需要对风险因子的分布做假设。但相较而言,参数法只能假设风险因子为联合正态分布,而蒙特卡洛法则不需要,因为它不基于「正态分布的线性组合还是正态分布」这个事实。

虽然蒙特卡洛模拟法允许各种各样的分布,但最常用的还是联合正态分布。

3.其他VaR指标的计算

3.1.ES(Expected shortfall)

对于参数法,ES可以使用下述转换公式:

\[ES_{95\%} = 2.063 \sigma = 1.254\text{VaR}_{95\%}\]

\[ES_{99\%} = 2.665 \sigma = 1.146 \text{VaR}_{99\%}\]

对于模拟法,ES即其样本分布的尾部平均值。比如计算95%的ES,只需取组合模拟场景下的收益的较小的5%部分的平均值。

3.2.增量VaR、边际VaR和成分VaR

增量VaR和成分VaR都用上一篇文章中的公式进行计算。因为不需要重新计算最耗费时间的风险因子分布参数估计和头寸估值,所增加的计算量很少。

在用模拟法计算成份VaR时,由于模拟法本身就有一定的误差,使得直接使用成分VaR的计算公式得到的结果极为不稳定。由于资产的小幅度变化不改变对各场景下的损益顺序,VaR总是在发生在同一个场景下。所以在实际中采取下面计算方法,这种方法可以消除重新估值和估计分位点带来误差:

首先,在计算总VaR时,假设VaR在某个特定场合下取得,那么资产的成分VaR就是每个资产在该特定场合下的损益值。

相对VaR指标

上面所说的都是绝对指标,它们都可以推广到相对于某一基准上,即相对VaR等指标。在计算这些指标的过程中,需要将风险因子的收益换成风险因子相对于基准的相对收益即可。

Q.E.D.


上一篇:VaR模型中的风险因子和估值框架2011年6月20日
VaR的算法核心有两块,这里介绍其中的一块。要计算风险,先要会估值。但计算风险的估值不需要其它目的所要求那么高的准确性,所以这里也会介绍部分估值法。

下一篇:VaR模型中的参数选择和计算细节2011年7月30日
这里介绍公司在选择VaR体系时选择参数的一些考虑因素,以及VaR算法的一些主要细节。结合前面两篇文章的内容,应该就可以完成了整个VaR体系(除了具体的估值方法需针对不同产品单独设计之外)。


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