One-Period模型和无套利定价

这本书的前两章是讲one-period无套利定价，主要用到的工具为线性代数（矩阵）。

1.One-Period模型

在one-period模型不关心资产价格在期间的变动，而只关心资产在期末的价格。为了方便起见，假设在期末只有$M$种可能的场景，此时一个资产的期末价格可以用一个长为$M$的列向量表示。不妨设第$i$种资产在第$j$种场景下的期末价格为$A_{i,j}$，其中$1\leq i\leq N, 1\leq j\leq M$。这里期末价格也可以直接理解为期末的回报。

此时任何一个资产组合都可以表示为一个数量矩阵$w$，它在期末的价格为$Aw$。

2.对冲

现在有一个新的资产，它的收益向量为$b$，$b$的每一项分别表示该资产期末时在各场景下的价格。现在想利用原来的N类资产精确对冲该新资产。对冲即指构建一个组合，使得这个组合和新资产在各个场景下的期末价格都是完全一样的。构建该对冲组合的行为也被称为复制$b$。

显然，此即解方程

$$Aw=b$$

当且仅当$b$与$A$的各列线性相关时，$b$可以由原来的资产完美对冲。

3.最优近似复制

当$b$无法由$A$的各列线性组合而成时，找不到$b$的完美对冲。此时可以求近似对冲组合。对冲组合的误差，通常被称为复制误差（replication error），可以用$\epsilon = Aw-b$表示。

一个常用的评价复制误差的标准为sum of squared replication errors(SSREs)：即最小化$\|\epsilon\|$。这可通过求一个二次优化来解决（可直接调用优化工具箱来解决）

$$\min (Aw-b)' (Aw-b)$$

4.套利

另设$S$为N类资产的期初价格，它是一个$1\times N$的向量。资产组合$w$的期初价格为$S'w$。

如果一个资产组合$w$满足期初价格不大于0，期末价格在任何场景下都不小于0，且期初价格和期末价格至少有一个不等于0，则$w$是一个套利组合，在期初买入，期末卖出，可空手套白狼（注意购买$w$不需要本金）。

同样如果一个资产组合的期初价格要低于另一个的期初价格，但前一个组合在任何一个期末场景下的价格都要高于后一个，那么可以通过买入前一个组合，卖空后一个组合的方式构造出套利组合。

5.套利定理

所有符号接着上面的来。那么这$N$类资产之间没有套利机会当且仅当存在$\phi\in R^M, \phi>0$，使得 $S=A'\phi$。

事实上，这里的$\phi_j$可被理解为$e_j$的价格，其中$e_j$为一个资产，它在第j个场景上有单位收益，其余场景下收益为0。

该定义的证明其实就是线性规划中的DUAL THEOREM，再经典不过了。事实上，这个定理虽然形式简单清晰，但在实际处理上并不太好弄，因为优化软件无法处理'>0'这种情况，事实上，我在用Matlab判断是否存在套利机会时还是使用套利的原始定义，即求解方程：

$$\begin{array}{rcl}S'w &\leq& -u \\ Aw &\geq& v\\u+v&\geq&0 \\ u\geq 0,&& v\geq 0;\end{array}$$

此处$\phi$应该还有更多的含义，比如与概率有关？

6.无套利定价

如果$b$可以被原有$N$类资产精确对冲，比如$b=Aw$（此时$b$被称为redundant），那么$b$的价格$S_b$完全确定：$S_b=Sw$。下面只对$b$是 non-redundant的情况。

对任何一个资产$b$，可以定义两类组合的集合，其中一类组合，它在任何一个场景下的期末价格都不高于$b$，另一类在任何一个场景下的期末价格都不低于$b$。那么根据上面套利的定义，b的期初价格$S_b$要高于所有第一类组合的价格，要低于所有第二类组合的价格。用数学式子可以描述为（使用于$b$无法被精确对冲的情形）

$$S_b \in (max\{S'x: Ax\leq b\}, min\{S'x: Ax\geq b\})$$

根据上面的套利定理，还有另外一种方式获得定价，它被称为对偶形式：

$$S_b = \{\phi'b:\phi>0, A'\phi = S\}$$

当$r(A)=M$（此时市场被称为完备的，因为任何资产都可以用$A$各列代表的N类资产复制和对冲），使用对偶形式要简单地多，此时价格也是唯一确定的。在其它情况，特别是$r(A)\ll M$时，使用第一种方式要快一些。而且第一种定价方式可以很方便地得到当b的价格超出理论价格区间时，如何去寻找套利的机会。

Q.E.D., ©zhiqiang, 2010.10.28。请参考右边的相关文章列表。

---