赌博的最优策略

zhiqiangMay 9, 2008 科学

首先申明一下，赌博是不对的，下面的讨论也更多是理论性的。

愿赌服输，所以大多数赌博的结果基本上是不受自己控制的。但最优化赌博成功的概率还是可以做到的。

我们现在讨论一个非常简单的游戏，假设有数量为 $n$ 的本钱，赌博规则为每次可以压任意多的钱，赌博结果为以 $p$ 的概率赢回同样多的钱（输了的话压出去的钱就没了）。如果赌博的目标是本钱增长到 $N$ 或者破产（输光所有的钱为止）。问什么样的方式可以最大化成功（赢到 $N$ 走人）的概率呢？

显然对于 $p$ 的不同大小有三种可能性：

$p=\frac12$ ：这时候没什么取巧的可能性，随便压，成功地概率固定的为 $n/N$ ，成功概率与本钱成正比。
$p>\frac12$ ：这种情况比较有趣。如果钱可以无限细分的话，成功的概率是可以趋近 $1$ 的，但现实中并不是这样，另外还得考虑赌博的时间成本对不。这时候每次压上 $(2p-1)N$ 是一个比较快捷胜率又高的方法。
$p<\frac12$ ：其实这种情况才是赌场里的大多数的情况（庄家赢的概率肯定要大一些嘛，否则赌场怎么赚钱呢）。但注意与大多数想象的不同，在这时稳打稳扎是慢性自杀，孤注一掷才是最优策略。这也符合历史经验，历史上一些搞阴谋成功的哪个不是亡命徒？最后成功的概率为 $(\frac{n}{N})^{\log 1/p}$ ，本钱少时，概率下降得更快。

所以高手赌钱，应该是这样的，先计算每次游戏的可能的胜率 $p$ ，当 $p>\frac12$ 时，压上 $2p-1$ 比例的本钱。

来源：discussion with Yaoyun & Shengyu and The Mathematics of Gambling。

本文章属于《生活中的数学》系列。此系列其它文章：

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At 2008.05.09 09:34, 愤青1号 said:

Zhiqiang开始研究新领域了！～～～

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At 2008.05.09 11:21, Mo said:

这么整真能赢钱？唉，我问了也是白问，又不赌钱...

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At 2008.05.09 13:19, Zig said:

这是说我们这些赌博的要是一次不成就只能跳楼了么?

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- At 2008.05.09 20:24, zhiqiang said:
  
  理论上就是这样。但也不一定就是一次。如果本钱 $n=75$ ，目标 $N=100$ ，你不需要全压上啊，这时你有两次机会。
  
  当本钱比较少时，那就是一次不成就要去跳楼了。
  
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At 2008.05.09 14:06, flyhaze said:

这个也只是概率上的结果啊，如果加上运气的因素，赌博……

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At 2008.05.09 18:34, Charles said:

问下，你的公式是不是用插件生成的？

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- At 2008.05.09 20:26, zhiqiang said:
  
  是的。Latex for Wordpress
  
  [Reply]
At 2008.05.10 16:01, chris said:

我想起了股票，其实原理差不多。行情好的时候要下重注，行情不好的时候就玩小的，甚至远离。

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At 2008.05.11 16:12, 福禄志 said:

偶不玩投机的玩意呵呵

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At 2008.05.11 21:56, 商夏 said:

我只知道不输的最优策略
那就是不赌

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At 2008.05.13 11:08, GooMoo said:

可是高手赌的时候，怎么会知道自己的胜率P>0.5呢？这个算法难道分不同的赌博游戏？

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- At 2008.05.13 21:51, zhiqiang said:
  
  是的。有些游戏是可以推算出概率的。比如21点。它们在连续的游戏中用的是同一幅牌，所以在经过若干轮游戏之后，胜率会改变。高手会选择在适当的时机入手，从而赢钱。
  
  不过这些也是我推测的，我没有玩过
  
  [Reply]
At 2008.06.22 10:00, 無名 said:

是的，只有21點一般所謂賭博高手會玩，因為這類高手都有一個觀念，那就是『肯定』，而21點算牌法，就給了他們這份『肯定』，他們需要肯定賭法，才能安下心賭下去，才能贏錢，一旦『肯定』不再，就無法再玩下去了

這也是為何，21點游戲，賭場已改列，變得不再『肯定』，少了這份優勢，當今21點玩家，多已無法生存，轉賭馬賭球賭poker為生了，只因，賭馬賭球，知識越多，就越有利，同樣的，知識也給了他們『確定』；而賭poker是應付人，只要對手有弱點，就可利用，這個，也是『肯定』

但妙的是，賭博游戲，從來都是『不確定』的，本質如此，賭徒想以『確定』的賭法、或數學數據，來應付『不確定』，只會徒勞無功吧了

當然，未改例前的21點，及賭馬賭球poker，至少給了他們一定的知識，而知識是確定，在云云不確定的賭博游戲里，這是少有的、存在的確定性，于是，抓著『確定』概念不放的人，自然會利用了

只因，不確定的賭博游戲，會令他們不安，因無法利用『不確定』，于是，很多人就認為，其余賭博游戲，就只能玩玩就好了，無法贏的

但本人知，其他賭博游戲，除卻以上已說『有確定性因素』的游戲，只要『賠率公平』，要贏，還是可以的，只是非常非常少人能夠了解個中玄妙，因大部分人要的是『確定』，而如本人告訴他們，無論如何，賭其他的游戲，是沒有確定這回事的，他們就會自動放棄了，人類本性如此，活著要確定、要安全，不敢冒險，只因，大部分人，都活在腦袋的關係，而腦袋，正是膽小的來源，只是看到這點的人，很少而已。

其他游戲要贏多輸少的話。。。。抱歉了，無法詳說，只能說出關鍵的幾個字，明白的會明白的
那就是。。。。。

看運勢

或可參考賭王葉問的口訣，葉問通過其口訣已說出其賭博秘訣，只差非常非常少人明白吧了

不明的話，還是萬萬別賭，小賭怡情還可以，無法自控的人，就得尋求幫助了

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