IBM七月份的Ponder this

zhiqiangJuly 12, 2007 科学

今年IBM七月份的Ponder This问题（原题在这里，英文）：

一个单位正方形的土地，其内（包括边界）建一些篱笆，使得任何与正方形相交的线段都被篱笆阻断（即与篱笆相交），问所建篱笆的总长度最少要多长？

有趣的是提出问题者自己虽然有一个构建方法，但还不知道怎么证明为什么是最短的。他的方法十有八九就是下面（实线部分）：

当然我现在也还不会证明。

答案已经出来了，我不幸猜错了...正确答案是如szuxjq所说，关键在于四个顶点并不需要全部连通，最后答案图形应该是这样子的(实线部分)：

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22条留言 -> 跳到留言表格

At 2007.07.13 10:15, rex said:

搭个车顺便问一个问题：两个三角形面积和周长相等，那么这两个三角形是否全等？如何论证？

我想到使用海伦公式，设两个三角形的边长分别abc,xyz,则有
s(s-a)(s-b)(s-c)=s(s-x)(s-y)(s-z)
但是，再往下就找不到出路了。

另外我想，用两根等长的绳子，所围成的三角形肯定是周长相等。摆一下，面积相同也并非不可能。但是，如何从理论上证明其（不）可行性？

ps: 初高中的数学都学得比较滥，原谅则个。

[Reply]
- At 2007.07.13 10:56, zhiqiang said:
  
  不一定全等
  
  直观来看，三个未知数，只有两个限制方程，解应该是有无穷多个的。
  
  具体的构造方法：首先任取一个非等腰三角形ABC，作等面积的XYZ，则XYZ的周长比ABC小，固定XY，保持边XY上的高不变，往两边拉动调整Z，可以使得XYZ的周长与ABC一致。
  
  [Reply]
  - At 2007.07.13 12:56, rex said:
    
    谢谢回复。
    “直观来看，三个未知数，只有两个限制方程，解应该是有无穷多个的。”这句话比较有启发性。“作等面积的XYZ，则XYZ的周长比ABC小”这句话没看明白。
    
    [Reply]
    - At 2007.07.13 14:03, zhiqiang said:
      
      Sorry，少打了几个字，作等面积的等边三角形XYZ，同样面积的三角形，等边三角形周长最短，所以XYZ的周长比ABC小，通过拉伸，可以把XYZ的周长拉长到跟ABC一样，同时保持面积不变。
      
      [Reply]
    - At 2007.07.13 16:08, rex said:
      
      谢谢，现在理解了
      
      [Reply]
At 2007.07.13 11:05, polarlm said:

我觉得，这个问题是不是应该是正方形的两条对角线啊。
两条对角线肯定比上面图中的实线短。
而且满足，任何使与正方形相交的线段肯定被它隔断啊！

[Reply]
- At 2007.07.13 11:12, zhiqiang said:
  
  两条对角线长 $2\sqrt{2}$ ，图中实线长度 $1+\sqrt{3}$ 。
  
  [Reply]
  - At 2007.07.13 11:24, polarlm said:
    
    不对啊，两条对角线把图中实线穿过，形成了四个三角形，任何两边之和大于第三边啊
    
    [Reply]
    - At 2007.07.13 12:27, 颜子 said:
      
      但是你这样算法把中间的实线算了两次。
      
      [Reply]
At 2007.07.15 16:58, cai said:

这个具体原理初中时看过一篇文章:说的是用肥皂膜来模拟,肥皂膜所成图形必定是距离最小的,具体不记得是否是这么说的.他当时给的答案说明是用物理学里面的能量最小状态是系统的最可能状态这么个原理的,而这里涉及到的能量就是表面能吧

[Reply]
- At 2007.07.16 15:21, zhiqiang said:
  
  你说的是求最短路径，使得四个顶点连通吧？
  
  但要是的割断所有与正方形相交的直线，一定需要使四个顶点连通么？
  
  [Reply]
  - At 2007.07.21 00:09, inspire said:
    
    不联通凸包的就至少俩分隔的闭集了...
    
    [Reply]
At 2007.07.16 20:10, szuxjq said:

肯定每个顶点都要有线通过。考虑三角形的情况，这很简单，因为每个底和高的组合都是最短的。那么扩展到多边形，首先一条对角线，划分为两个小的多边形，然后从其中一个多边形的顶点向该对角线画垂线。对于已有多条直角相交的划分线，那么与该“勾”和“股”对应的“弦”也是一条隐形的划分线。不过其长度不计算在内，但是新垂线和该“弦”垂直就行了。比如说，长和宽不相等的矩形，“篱笆”就不是两对角线，而是先做一条对角线，然后从剩下的两个顶点分别引垂线到对角线上，这三条线段长度之和就是“篱笆长度”。

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- At 2007.07.17 09:05, zhiqiang said:
  
  你说的就是让顶点连通吧？如果是这个的话，就是费马点，你说的那些方案都不对。
  
  但怎么证明定点连通是最优的呢？
  
  [Reply]
  - At 2007.07.22 10:44, szuxjq said:
    
    顶点连通不一定是最优的吧？如果是三角形，费马点应该是最短的篱笆，怎么证明？
    
    [Reply]
    - At 2007.08.12 19:46, szuxjq said:
      
      IBM公布答案了，和我料想一样，先做一个直角三角形的费马点，再从第四顶点引垂线到其斜边上。
      
      [Reply]
At 2007.07.19 13:38, AI said:

Fermat Point问题的小推论，呵呵

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At 2007.07.21 00:48, 股票入门 said:

好深奥啊,,,看不懂..

看来我是白学数学了.

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At 2007.07.29 17:25, cody said:

这个……不是就是欧式平面的最小steiner tree么？亏你还是学理论的啊：）

[Reply]
- At 2007.07.31 15:39, zhiqiang said:
  
  就是欧式平面的最小steiner tree？怎么证明这一点？
  
  [Reply]
At 2007.08.12 17:54, temp said:

题目的意思就是要求 1内部线段过四个顶点 2任意两顶点之间要在正方形内部联通 3并且有一条线段切断了对角线

满足2的话两顶点之间的路径围成的图形一定不会是大于等于5边形 ---似乎不是很显然。。。
然后情况似乎就是有限种了吧。。。似乎。。。

[Reply]
At 2007.10.09 02:35, dailiang said:

当初我就提交的博主的答案

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