概率论感觉测试

zhiqiang9月 29, 2008 科学

所有大学生都应该学的两门课程，一是经济学，二是概率论，这两门课分表代表着一种生活中的思维方式。来测试一下你的概率论学得怎么样吧。题目作者: wzz12346@newsmth, 原发Mathematics@newsmth。解答亦来自wangzz。题目顺序和答案经过调整。

如果有题不会的话，就用你的直觉吧，看看最后你的直觉与真实的概率相差有多大。

解答颜色为白色，在每个题目下面，选中即可显示。

在打桥牌的时候，如果你和对家共持有某门花色的9张牌，则剩余的4张牌怎样分布的概率最大
      A. 2-2
      B. 3-1
      C. 4-0
B. 可以简单计算得到这个结果。3-1的概率应该是50%。2-2的概率是37.5%。4-0的概率是12.5%。
如果有3个门，有一个背后有大奖。你选中一个，主持人知道哪个门后面有奖，并且总会打开另外两个中的某个没奖的。现在你有一次换得机会，你应该
      A. 换
      B. 不换
      C. 换不换都一样
A，三门问题，详细情况见三门问题及相关
100个球随机的放在100个箱子里，最后空箱子的数量大约是
     A. 0-10
     B. 10-20
     C. 20-30
     D. 30-40
D. 这个题可以用简单的概率论计算。结论是不管多少个球，c*n个球放到n个箱子里，最后空箱子的个数约为 $n(1-1/n)^{cn}=ne^{-c}$ ，现在的情况是箱子数和球数一样多，那么就约为 $100e^{-1}$ .
打10000副拱猪，总共持有9500-10500个A的概率大约在
      A. 80%-90%
      B. 90%-95%
      C. 95%-99%
      D. 99%以上
D. 这个可以用中心极限定理计算。事实上这个题也不需要计算，只是要考察大家的一个感觉，实际上这个概率大于0.99...9，一共有9个9。不过有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。
台湾大选，假定马英九最终得到600000票，谢长廷得到400000票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为
      A. 0.1
      B. 0.2
      C. 0.3
      D. 0.4
有以下几个国家，每个国家有自己的习俗。问哪个国家长期以后男人的比例最大
      A. 每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男孩为止
      B. 每个家庭不断的生孩子直到得到第一个女孩为止
      C. 每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止
      D. 以上几个国家最后男女比例基本一样
D. 我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。用概率的方法可以得到不管哪个方法都是1:1。事实上，我们只是把一个很长的男女的序列按照不同的方式来截断。当然这个序列本上包含多少男女是不变的。我每次都愿意以另外一个例子来说明，那就是如果我们在网上下棋，可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或是有输有赢为止，显然不管怎样，因为你的实力是恒定的，你永远都是你本来应有的胜率。
给一个1到100的排列，与原来位置相同的数字的个数的期望大约是（如1到5的排列51324 与原来位置只有3是相同的）
      A. 1
      B. 5
      C. 10
A. 在第1个位置，这个排列的第1个数字为1的概率为1/100，而期望是可加的，所以总共与原来位置相同的数字的个数的期望应该是1。也就是说不管是多少的数字，平均恰好有一个数与顺序是相同的。
美国的25分硬币共有50种，上面有50个州的图案，如果我们每次得到的硬币是随机的，则期望大约收集多少可以收集全
      A. 200
      B. 300
      C. 400
      D. 500
A. 这是所谓的收集硬币问题。具体解法不是很容易。不过结论是要收集齐n种硬币，需要大约 $\sum_{i=1}^n\frac{n}{i}=n\log n$ 个。
假设有1000次100m短跑大赛，每次比赛的冠军成绩都在9.7-10之间均匀分布，问期望有多少次比赛打破了之前的纪录
      A. 7
      B. 10
      C. 15
      D. 32
A. 假设均匀分布,则最后n次比赛之后这n个成绩形成一个排列。第k次创纪录的概率是这个排列中第k个在前k-1个之前的概率，也即1/k，所以n次比赛大约有 $1+1/2+1/3+...1/n=\log n$ 次破纪录。
扔10000次硬币，其中最长一次连着正面的次数大约会是多少
      A. 100
      B. 13
      C. 9
      D. 4
B.这也是一个特殊的概率问题，叫做Head Runs。答案应该是 $log_2^n$ 。大约为13。或者大于13是显然的，但不太可能有100。所以必定是选B。
以下那件事情发生的期望时间最短
      A. 在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次回到原点的时间
      B. 一只猴子，每秒种随便按键盘上的一个键，第一次打出"Beijing Welcomes You"的时间
      C. 在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次到达1的时间
B. A和C两个事件发生的时间的期望都是+inf. 只有B是有限的。A和C说明了等概率的赌博不可能赢钱（如果C是有限的则参加赌大小的游戏总能赢钱了）。而B说明的是另外一条概率上的定理,"What always stands a reasonable chance of happening will almost surely happen, sooner rather than later",也就是说从任何时刻开始，总有一个固定的概率发生的事情(比如一个猴子打出beijing welcomes you, 这个概率可能是 1/26^20左右)，不过这个概率是多少，这件事情早晚能发生。
如果一个物体在3维随机游动，也即每一刻他可以向左，右，上，下，前，后等概率的走，长久来看，则会发生什么情况
      A. 此物体无穷多次回到原点
      B. 此物体无穷多次回到任何一条坐标轴上，但不会无穷多次回到原点
      C. 此物体不会无穷多次回到任何一条坐标轴上
B. 1维和2维的随机游动是常返的，也就是说会无穷多次回到起点（但回来的平均时间期望是无穷的），而3维以上的随机游动是非常返的。因此对于2维德某改革坐标，此物体会无穷多次经过，但是不会无穷多次经过原点。对一个完全没有方向感的人，在平面上不会迷路，但在宇宙中是会迷路的。
一支股票，初始价为1，每天的价值变化率独立同分布，且期望为0，不恒为0。则
      A. 股票在任何时刻期望价值为1
      B. 股票以概率1变成0
      C. A和B都对
      D. A和B都不对
C. 也就是说对于很多投机的东西，平均值总是不变的，但是多数人都会倾家荡产。其实仔细想想很有道理，比如说你的股票第一天涨10%。第二天跌10%或是第一天跌10%，第二天涨10%，最后的结果都是跌了1%。所以要保持增长所需要的是远大于0的平均变化率，这个才是一般人难以做到的。
如果一个群体里，每个个体以0.2的概率没有后代，0.6的概率有1个后代，0.2的概率有两个后代，则
      A. 这个群体最后会灭绝
      B. 这个群体最后将稳定在一个分布，即种群大小在一定范围内震荡
      C. 这个群体最后将爆炸，人口将到无穷
      D. 不一定会发生什么
A. 这是个简单的人口模型。这个可能直觉比较困难，但是这个实际上和上次的一道题是一样的。注意到每一代的期望总是1。因此根据上次的答案，这个群体最后会灭绝。对于这种模型，当每一代的期望小于等于1时，最后的结果都是会灭绝。对于期望大于1的情况，我们也可以很简单的通过解方程得到灭绝的概率。
当我们考虑一种可能重复发生的事件时，哪种方式更科学
A. 按照第一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质
      B. 按照最后一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质
      C. 以上都可以
      D. 以上都不可以
A. 这个问题深一些的背景在于Kolmogorov向前向后微分方程。很多人知道向后微分方程更通用，但是并不知道原因。事实上，向后微分方程是基于A的方法对事件进行分解得到的，而向前微分方程是基于B的方法对事件进行分解的。但是有很多重复发生的事情会越发生越频繁，以致没有最后一次发生的事件。但是我们总能找到第一次发生的时间。所以A更科学。
实验室测试灯泡的寿命，在灯泡不断的换新灯泡。灯泡寿命约为1小时。考察10000小时时亮着的那个灯泡
      A. 那个灯泡的寿命期望也约为1小时
      B. 那个灯泡的寿命期望约为其他灯泡的2倍
      C. 那个灯泡的期望寿命约为其他灯泡的1/2
      D. 以上说法都不对

B. 这个题可能是稍难的。如果具体的算需要一点本科高年级的知识。不过我们仍然可以从直觉得到结果。事实上，当每个灯泡或是我们观测的事物的生命是随机的时候。在时间足够久以后的一点，那个事物的寿命要长于这个事物本身平均的寿命。因为正是因为它寿命长导致我们容易观测到。简单的说，如果灯泡有两种，一种只能坚持1小时，一种能坚持100小时，那我们在后面观测到的99%都可能是100小时那个。所以观测到的平均寿命较长。通常我们认为灯泡的寿命是指数分布的，在这个情况下，答案是2倍。对于一般的分布，甚至有可能平均寿命有限，而观测的那个寿命期望是无限的。这个问题在美国一次监狱调查中被发现，即被调查的囚犯的平均判刑年数要远大于全美平均判刑的年数

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At 2008.09.29 21:59, NetPuter said:

呃,用AskForm嘛~方便^^
话说老大是"志强"?

[Reply]
- At 2008.09.30 10:13, zhiqiang said:
  
  AskForm不能显示答案，也不好用。
  
  [Reply]
At 2008.09.29 22:01, IQ50 said:

晕菜了，咋都不会呢

[Reply]
At 2008.09.29 22:19, rockinhill said:

我来猜～
1A 2A 3C 4D 5A 6A 7B 8B 9A 10A 11C 12A 13D 14A 15A 16B

[Reply]
At 2008.09.30 08:24, THINK said:

出几个停时定理的题算了，哈哈。

[Reply]
- At 2008.09.30 09:52, zhiqiang said:
  
  有题目用到了停时定理~ 感觉测试的范围还是比较广。
  
  [Reply]
  - At 2008.09.30 19:46, THINK said:
    
    不是比较广，是太广了，哈哈。
    不过概率/组合/数论/图论是非常有威力的学科，Erdos刚好都擅长...
    
    [Reply]
At 2008.09.30 09:39, Fabrice said:

公布答案~~~~

[Reply]
At 2008.09.30 09:51, Feng said:

我只知道第二个是换，概率增加了，看过博弈论。

[Reply]
- At 2008.09.30 10:22, 什么是 said:
  
  我好像看过博主之前的文章说,换不换概率都是一样的,50%?不知道我有没有记错
  
  [Reply]
  - At 2008.09.30 12:29, charlie said:
    
    我也觉得应该换啊。采取换的动作的话，我获奖的概率就是一开始选中没有奖的两扇门之一概率为2/3
    不换的话获奖的概率就是一开始就选中那扇有奖的门概率为1/3
    所以是采取换的动作获奖的概率大啊
    
    [Reply]
    - At 2008.09.30 22:09, Feng said:
      
      关键是取决于支持人，如果是随机的，就不换；如果主持人知道答案，就换。
      
      [Reply]
      - At 2008.10.01 16:53, Feng said:
        
        再具体点，1、主持人随机，换不换无所谓；
        2、主持人知道答案，换。
        所以，应该毫不犹豫的选择换。
        
        [Reply]
At 2008.09.30 10:28, Eagle_Fantasy said:

题目挺有意思的，解答在哪里？

[Reply]
At 2008.09.30 12:05, hoxide said:

要真一题题算挺花时间的~~~

[Reply]
At 2008.09.30 15:52, charlie said:

要求公布答案，我只看了几道题就花了很多时间。第一题肯定为A，我还试验了一下。

[Reply]
At 2008.09.30 16:40, 宴之敖 said:

都学过，都没学好。

[Reply]
At 2008.09.30 23:28, Linden.Van said:

第五题没答案啊

[Reply]
At 2008.10.01 14:03, charlie said:

我的回答
1a 2a3a4a5a 8b 13 d 14a 15b 16a

[Reply]
At 2008.10.01 14:04, charlie said:

1a 2a3a4a5a 8b 13 d 14a 15b 16a

[Reply]
At 2008.10.01 14:13, charlie said:

2a 3a4a 5a 6d 7a 8a 9a 10b
怎么题目顺序和昨天的还不一样

[Reply]
- At 2008.10.01 17:22, zhiqiang said:
  
  是的。我调整了一下题目顺序，把类似的题目弄到一起了。难度也基本上是从上到下越来越难。
  
  [Reply]
At 2008.10.02 22:40, 严酷的魔王 said:

第五题不就Catalan数么

[Reply]
At 2008.10.03 20:35, 严酷的魔王 said:

这个……

[Reply]
At 2008.10.09 15:57, 虎子哥 said:

我承认我一个都不会做

[Reply]
At 2008.10.16 09:10, Jimmy said:

我猜测:
1A 2A 3D 4D 6D 7A 8B 9D 10A 11B 12A 14A 15C

[Reply]
At 2008.10.17 17:56, yiyou said:

真的好难……

我想起了概率老师的话：你们（说我）还差得远呢~

[Reply]
At 2008.10.18 19:27, zpnec said:

有一栋十层楼的楼，在每个电梯门口放上一颗钻石，这些钻石的大小不同，一人坐电梯从一楼，电梯每到一层楼都开一次门，而且这个人能准确的分辨钻石的大小，请问怎么样能拿到最大的钻石，只有一次机会（就是出了电梯门就进不来了）

这个题能用概率解决么？？？

[Reply]
- At 2008.10.19 14:59, zhiqiang said:
  
  这个严格来说用的东西不是概率, 算组合题目吧.
  
  方法在这里
  
  最优性的证明
  
  [Reply]
  - At 2008.10.19 15:13, zpnec said:
    
    赞一个你的分析！
    这是qq笔试题来着，今年网易也出了一个一样道理的，现在企业都变态啊。
    
    [Reply]
At 2008.10.28 21:29, malph said:

问一道题：给三个杯子，一个硬币，三个杯子扣过来，其中一个有硬币。第一次，先拿走一个杯子（方便叙述假设是A），然后翻开剩下两个杯子中的一个（假设是B，剩余那个就是C了），发现B里没有硬币，将B再扣过来，然后进行第二次选择（杯子的情况和第一次一样），问第二次选择A还是选择C？为什么？

[Reply]
- At 2008.10.28 22:02, zhiqiang said:
  
  三门问题，很经典的问题了，http://zhiqiang.org/blog/posts/three-doors-related-problems.html
  
  [Reply]
At 2008.11.13 16:54, sunny said:

第六题的答案是D么？我认为是B阿？

请问有没有搞错？

[Reply]
At 2008.11.13 18:03, zhiqiang said:

没有搞错，是D。

如果你学过随机过程的话，它就是一个简单的停时定理。

[Reply]
At 2008.11.16 15:19, ghyxy said:

第五题，答案为（A-B)/(A+B)

[Reply]

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