三门问题及相关
写篇三门问题的终结版。欢迎补充材料。
三门问题，亦称为蒙特霍问题（英文：Monty Hall problem），最初的表述形式：
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。
问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？
很老的问题了，不过在任何时候都能引起激烈的争论，更神奇的是无论直觉派，概率派等都认为自己的答案有道理。维特根斯坦认为世界上多数问题归根结底都是语言问题。三门问题的争论其实也是语义上的。正确答案应该是
- 如果主持人事先知道哪个门里有山羊并且他特意选择了有山羊的门打开了，那么参赛者应该换另一扇门，这可以将他胜利的概率从1/3升到2/3。
- 如果主持人事先不知道哪个门里有山羊或者他只是随机的选择了一个门，但事实发现里面恰好是山羊。这时候参赛者没有换门的必要，胜利概率总是1/2。
简单的证明（如果对概率论一点都不了解得话可以直接枚举进行计数）：
我们需要计算P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门)。以下说明在第一种情况这个概率为1/3；在第一种情况下这个概率为1/2。如果参赛者没有选中汽车门，另一扇门必定是汽车门，所以换门后包含汽车的概率分别为2/3和1/2。
P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车，主持人打开了一个山羊门)/P(主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车门)P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)/P(主持人打开了一个山羊门) .................(*)
而P(参赛者选中了汽车门) = 1/3。在参赛者选中了汽车门时，主持人打开的必定是山羊门，所以P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)=1。
问题的关键是P(主持人打开了一个山羊门)。在第一种情况下，主持人每次都有意的打开了山羊们，所以此时P(主持人打开了一个山羊门)=1；在第二种情况下，主持人随机选择了一个门，虽然他是在参赛者选择的门之外选择的，但不难知道这个概率为P(主持人打开了一个山羊门)=2/3。
将上面数据代入(*)即得出结论。
上面答案中的假设条件并没有在问题中明确指出，从而导致这个问题的巨大争议。所以最后的问题“官方”表述将问题严格确定下来(来源：三门问题@wikipedia)：
- 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
- 主持人知道每扇门后面有什么。
- 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
- 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
- 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
- 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
- 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。
这时候问题被限制在答案的第一种情况，这时候参赛者总是应该选择换一个门。
要正确理解三门问题，可以再看两个三门问题的翻版：
女孩的概率
1. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。那么，两个都是女孩的概率是多少？
答：三分之一。
因为生两个孩子的可能性有四种等可能：BB、GG、BG、GB（即男男、女女、男女、女男）。 因为我们已知至少有一个女儿，所以BB是不可能的。因此GG是可能出现的三个等可能的结果之一，所以两个孩子都是女儿的概率为三分之一。
这对应了三门问题的第一种情况。
2. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。第二天，你看见她带了一个小女孩。你问她，这是你女儿吗？她说，是。她的两个孩子都是女孩的概率是多少？
答：二分之一。
这似乎非常奇怪，因为我们所拥有的信息看起来并不比第一种情况时多，但概率却不同。但是这里的问题其实是，那个你没见过的孩子是女孩的概率是多少？这个概率和生女孩的概率相同，二分之一。
这对应了三门问题的第二种情况。当然这里也有语言问题，必须假定这位母亲不是特定带出一个小女孩来给你看的。也就是说你只是碰巧发现了它是位小女孩。
你得到的答案依赖于所讲的故事；它依赖于你是如何得知至少一个孩子是女孩的。
三囚犯问题
亚当、比尔和查尔斯被关在一个监狱里，只有监狱看守知道谁会被判死刑，另外两位将会获释。有1／3的概率会被处死刑的亚当，给他母亲写了一封信，想要获释的比尔或查尔斯帮忙代寄。当亚当问看守他应当把他的信交给比尔还是查尔斯时，这位富有同情心的看守很为难。他认为如果他把将要获释的人的名字告诉亚当，那么亚当就会有1／2的概率被判死刑，因为剩下的人和亚当这两人中一定有一个人被处死。如果他隐瞒这信息，亚当被处死的概率是1／3。既然亚当知道其他两人中必有一人会获释，那么亚当自己被处死的概率怎么可能会因为看守告诉他其他两人中被获释者的姓名后而改变呢？
正确的答案是：看守不用当心，因为即使把获释人的姓名告诉亚当，亚当被处死的概率仍然是1／3，没有改变。但是，剩下的那位没被点名的人就有2／3的概率被处死（被处死的可能性升高了）。
这位看守显然很有趣。对他来说，这三个人死不死的概率是不变的：1、0、0。有一个必死，两个必活。
我们旁观者认为亚当会死的概率是1/3,那是因为监狱里有3个人，会死1个。现在看守说出一个名字后，我们旁观的人知道是2个里面死1个，亚当在内，则亚当会死的概率上升到1/2。凭什么说在旁观者看来，亚当会死的概率不上升？
以上两问题均出自《随机性》，美国 Bennett D.J.著，吉林人民出版社，2001年。
其实如果亚当指定某个人问：xxx会不会被获释？那么亚当被获释或者被处死的概率就和剩下那个人一样了
但如果是看守告诉亚当xxx（例如比尔）会被释放，此时查尔斯就的死亡概率就上升了，因为在亚当必死的情况下，看守有1/2概率说查尔斯，也有1/2概率说比尔，而现在他说了比尔，就排除了另一个亚当必死的的概率，等价于查尔斯死亡概率就上升了。亚当是不变的。
也就是说“xxx会被处死”的情况数量和“看守告诉亚当xxx会被处死”的情况数量不同，而我们很容易让思维走进前者的胡同里。
三门问题的争论其实也是语义上的。
嗯，一直认为如此
三门问题其实没有任何的漏洞……
还有一种帮助理解的方式：
主持人给你一百个门，让你选择一个，然后一口气打开了其余的98扇山羊门，然后问你是否改变选择。
如果先考虑将100用n来代替，一口气打开其中的n-2扇门这样的推广问题，然后再将n退化到3，应该更好理解。
那两个女孩儿的问题看来只是语义上的问题
假如两个孩子为a和b，无先后顺序。
第一种情况是已知a、b之中有一个是女孩儿，但是a还是b,我们是不知道的，只能排除BB这种情况，因此排列组合的话，GG是1/3；
第二种情况就有细微的差异，相当于我们已知a是一个女孩儿（两者平等，姑且把见到的定义为a），问b是女孩儿的概率，自然是1/2。
这样子其实完全是表述不清，语境问题，跟数学精神有违，不如问清楚来得好。
完全是诡辩，两个孩子其中有女孩，只有两种情况，B+G和G+G，因为是“有两个”，不存在先后问题，所以不能用排列，只能用组合来统计，所以应该是1/2，而不是1/3。
同意 islet8 朋友的说法。
考虑下语境就是1/3.
经典的概率里面认为2个孩子是可分辨的，分成4种情况是合理的。又不是量子论里的粒子，那才不可分辨~
[...] 解答可以从上面那个撞墙百科的链接里找到。不过我还是要给另外一个地址，因为那里给了这个题目的一些变体。 http://zhiqiang.org/blog/posts/three-doors-related-problems.html [...]
能介绍几本数学读物吗？谢谢
不好意思，似乎你的答案与维基上的不一样。
“不过若主持人不知道哪扇门有羊，在参赛者选择后仍开出羊，此时透过转换选择而 赢的概率仍为2/3。”
你能讲讲怎么回事么？
我坚持我的答案是正确的。为此补上了严格的证明。
我不知道为何wikipedia上会那么写。
我又看了英文wiki上的相关资料，它上面的答案与我的一致。看来中文wiki上还是靠不住啊：
这几个问题我都很糊涂……感觉是必须在决策的一开始就进行概率估算，然后根据信息的变化再修改。不知对否？
有种看《概率论基础教程》的感觉。
答案其实很简单：任何情况都不用换。只要理解了什么是概率的本质，就不会犯错。所以说知识分子有时候不如卖菜的农民。知其一而不知其二，自己被自己绕进去了。有兴趣交流的朋友可以找我。qq 32675547 另外建议博主进入金融或经济政策行业，比计算机行业好玩。
kerrigan 的思路是对的