违反直觉的概率游戏

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蚁迹寻踪及其他数学探索》提到一个游戏:

游戏 \(\Gamma^2\) 是不断地取独立同分布随机变量 \(x_1,x_2,\cdots\) ,其中随机变量 \(x_i\) 来自于1到n上的某个分布,直到某个 \(x_i\) 成为第二大的数,即在 \(x_i\) 前面恰好有一项大于或等于 \(x_i\) 时序列终止。游戏者因此获得一笔价值为 \(x_i\) 的支付。

游戏 \(\Gamma^k\) 与上面一样,只是「第二大」被「第k大」所代替。

游戏 \(\Gamma_k\)\(\Gamma^k\) 相同,只是「第k大」被「第k小」所代替。

那么在 \(\Gamma^2\)\(\Gamma^3\)\(\Gamma_2\) 这些游戏中,哪个对游戏者最有利?如果你认为在「第二大」上打赌应该比在「第三大」或者「第二小」上打赌更有利些,那你就落入了圈套。

正确答案是:所有游戏全都一样。所有游戏的回报与序列中的原始分布一模一样。

我就不写为什么了,有兴趣的同学可以自己算算看。

Q.E.D.


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这个题目是当年北大概率课上陈大岳老师出的练习题目,当时是一个简单情形,球上4个点组成的四面体包含球心的概率。最近在MITBBS上看到又有人提及

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一个八面体骰子,每一面都有一个数。扔三次,三个数之和最多有120种可能性。若要使这120种可能性都不相同,八面体八个数中最大数最小可能是多少?


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