小游戏中直觉和理论的悖论

一个游戏：持续的抛一个均匀硬币，直到抛到出现反面为止，假设在之前你抛除了$k$次正面，你将得到$2^{k+1}$次方这么多钱。

问题：你愿意花多少钱来玩这个游戏？

直觉上而言，一个人不可能愿意花1000块钱来玩这个游戏。但从概率上分析，将有$1/2^{k+1}$的概率得到$2^{k+1}$的钱，也就是你每次得到的钱的期望是无穷大($k=0,1,2,\cdots$有无穷大取值)。也就是说从数学上而言，你值得为这个游戏花上任意多的本钱，比如说1000块钱。

几点可能的原因：

• 金钱的效应原因：在钱多到一定数量的时候，钱数本身已经失去了意义，比如说赢了$2^{100}$和$2^{101}$的钱对于个人而言产生的效应是一样的，但是在期望计算中，后者的分量还是前者的两倍。比如说人能够承受的钱的最高数量是$2^{40}\sim 10000,0000,0000$(已经世界首富了)，也就是说此时游戏的实际期望只有42块钱，也就是说这个游戏只值得用42块钱来玩。
• 庄家破产：实际游戏中，庄家能给的钱是有限的，比如庄家最高能给1个亿，那么这个问题转为有限期望的游戏，价值为$\log 10e8$，大约为27。
• 无穷现金的庄家：在这个游戏里面，假设了庄家有足够的现金。如果你有无穷的现金，可以多次博弈，那么就能接受更高的价格（这其实也是一种风险规避，和第一点有相通之处）。

以上几点是我想到的可能原因，也许不一定对，希望有兴趣的朋友继续讨论。

Q.E.D., ©zhiqiang, 2005.11.11。请参考右边的相关文章列表。