实数上的可数颜色染色问题

命题：实数集$\mathcal{R}$上的任何一个可数种颜色染色方案，都存在四个不等的同色点$x, y, z, w$使得$x+y=z+w$。

这个问题是一个月前在Computational Complexity看到的。前两天在测不准原理还是不确定性原理我提到了不可证明问题，今天顺便把上面这个问题拿出来溜一溜。

这是一个非常非常自然的问题，看上去就是一个普通的组合问题，类似于Ramsey问题的变种，而且研究这个问题的（包括Erdos!）也多数是组合学家。但其答案却出人意料，因为这个问题被证明是不可证明的，它独立于ZFC公理体系:

定理：此命题成立当且仅当连续统假设不成立。

而连续统假设在上个世纪七十年代便已经证明了独立于ZFC。

上面等价性定理的证明在这里(pdf，英文)。证明过程很短。即便我对集合论了解甚少，对我来说除了Fact 1.3之外，其余的都很好懂。

PS：做算法和复杂性的不要错过这个blog：Computational Complexity。从blog标题就能看出它的内容了。

PS2：网友yue给我推荐了一个信息和数学类的blog，Matrix67，据称内容为50% Informatics, 50% Mathematics, and 50% Imagination。令人惊奇的是，blog作者居然是北大中文系的。这位兄弟如此喜欢数学，完全可以向其前辈学习一下，从中文系转系到数学系去，这是有过先例的。

Q.E.D., ©zhiqiang, 2007.12.23。请参考右边的相关文章列表。