从纳什均衡看旁观者效应

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生活中的数学

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注:这篇文章是应You XU邀请的guest blog。

1964年3月13号凌晨3点,纽约酒吧经济Kitty Genovese在即将到达寓所时,遭到持刀暴徒的侵犯,她惊恐的尖叫并恳求帮助。但她的38户邻居,很多人走到窗户前观望了片刻,目睹她在歹徒手中挣扎,但直到歹徒离开,才有人打电话报警。但Genovese却未能得到及时救治很快就死去了。[1]

为什么Kitty的邻居没有一个人援助她?人们普遍归因于人的异化与冷漠。但心理学家有不同的看法,大量的实验和研究显示在公共场所观看危机事件的旁观者越多,愿意提供帮助的人就越少,这被称为旁观者效应

为什么会这样呢?心理学家

...猜测,当旁观者的数目增加时,任何一个旁观者都会更少地注意到事件的发生,更少地把它解释为一个重大的问题或紧急情况,更少地认为自己有采取行动的责任。[1]

下面用经济学中的纳什均衡[2]的方法定量地说明,在人数变多时,的确是任何一个人提供帮助的可能性变小,而且存在某人提供帮助的可能性也在变小!通俗的说,在开头的报警案例中,围观者(邻居)越多,报警的可能性越小! (这些来源于2年前与同学的讨论,只不过当时还不知道心理学上也有对应的分析。)

在这里假设人都是利益动物(也就说下面的分析不考虑社会心理学中提到的人的心理因素)。在最开始的抢劫案件中,假设有 \(n\) 个围观者,有人提供帮助(报警),每个人都能得到 \(a\) 的固定收益,但报警者会有额外损失 \(b\) (可以看成提供帮助所消耗的时间,精力或者报警者所可能遇到的危险——注意最近的彭宇案件)。容易知道,在 \(b>a\) 时,一个完全理性的人不可能去报警,所以我们只考虑 \(0\leq b \leq a\) 的情形。我们来分析一下,在这个模型里面,每个人将如何行动?

按照上面的假定,对于某个人A而言,他的收益矩阵为:

其他n-1个人不报警 其他n-1个人有人报警
A不报警 0 \(a\)
A报警 \(a-b\) \(a-b\)

我们求上面的收益矩阵的纳什均衡,由于每个人都是对称的(暂且只考虑对称的纳什均衡),无妨假设每个人不报警的概率为 \(p\) ,不难得到纳什均衡在 \(p=(\frac{b}{a})^{\frac1{n-1}}\) 达到。注意 \(p\) 是随着人数 \(n\) 增大而增大的!更重要的是,存在某人报警的概率 \(1-p^n=1-(\frac{b}{a})^{\frac{n}{n-1}}\) 随着人数的增加而减少!

注意,上面的结果也提供了报警的概率与 \(\frac{b}{a}\) 的相关关系。

更多推断:

  • 相对而言,城市居民比小乡村居民更冷漠:在人少的地方获得帮助的可能性反而更大。
  • 朋友并不是越多越好的(?)
  • 求助时不要同时向若干人求助,即便如此也不要让他们互相知道。
  • 常在新闻里看到,一人受伤或者...,多少多少人围观,却没有人提供帮助。但从上面的分析可以看出,更多人看热闹并不代表着社会道德水平更低。
  • 一个社会的道德水平,如不考虑别的因素(社会和心理上的),将由 \(b\)\(a\) 的比值决定,而在受益 \(a\) 确定的情况下,完全由 \(b\) 决定,这里的 \(b\) 是提供帮助的成本(包括时间,精力,以及有可能遭致的打击报复,甚至忘恩负义者的反咬)。
  • 和谐社会,需要努力降低前面的 \(b\) 值,通过给与金钱上或者精神上的奖励。
  • 最近的彭宇事件,根据网络上的反应,这件事情大大提高了 \(b\) ,将导致道德水平下降。[西乔有一篇文章老太摔倒均衡点给出了类似的分析]

1.参考:

[1] David G. Myers, Social Psychology - 社会心理学, P363-369.

[2] 纳什均衡, 简单说来,纳什均衡是指相互作用的经济主体,每一方都在另一方所选择的战略为既定时,选择自己的最优战略。一旦双方达到了这种纳什均衡,都不会再有做出不同决策的冲动或激励。其最重要的案例是囚徒困境

Q.E.D.


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