赌博的最优策略

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生活中的数学

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首先申明一下,赌博是不对的,下面的讨论也更多是理论性的。

愿赌服输,所以大多数赌博的结果基本上是不受自己控制的。但最优化赌博成功的概率还是可以做到的。

我们现在讨论一个非常简单的游戏,假设有数量为 \(n\) 的本钱,赌博规则为每次可以压任意多的钱,赌博结果为以 \(p\) 的概率赢回同样多的钱(输了的话压出去的钱就没了)。如果赌博的目标是本钱增长到 \(N\) 或者破产(输光所有的钱为止)。问什么样的方式可以最大化成功(赢到 \(N\) 走人)的概率呢?

假设最大成功概率为 \(f(n, p)\) ,那么有

\[f(n, p) = \max_{0 < x\leq \min\{n, N-n\}} (pf(n+x, p) + (1-p)f(n-x, p)), \forall 0\leq n\leq N\]

并且满足边界条件

\[f(0, p) = 0, f(N, p) = 1\]

显然对于 \(p\) 的不同大小有三种可能性:

  • \(p=\frac12\) :这时候没什么取巧的可能性,随便压(但不要超过 \(N-n\) ), \(f(x, p) = x/N\) ,成功概率与本钱成正比。
  • \(p>\frac12\) :这种情况比较有趣。如果钱可以无限细分的话,成功的概率是可以趋近1的。但现实中并不是这样,另外还得考虑赌博的时间成本对不。这时候根据凯利判据每次压上 \((2p-1)n\) 是一个比较快捷胜率又高的方法。此时,本钱减少时,概率下降地相对较慢。
  • \(p<\frac12\) :这种情况才是赌场里的大多数的情况(庄家赢的概率肯定要大一些嘛,否则赌场怎么赚钱呢)。但注意与大多数想象的不同,在这时稳打稳扎是慢性自杀,孤注一掷才是最优策略。这也符合历史经验,历史上一些搞阴谋成功的哪个不是亡命徒?最后成功的概率约为 \((\frac{n}{N})^{\log 1/p}\) ,本钱少时,概率下降得更快。

所以高手赌钱,应该是这样的,先计算每次游戏的可能的胜率 \(p\) ,当 \(p>\frac12\) 时,压上 \(2p-1\) 比例的本钱。

来源:discussion with Yaoyun & Shengyu and 《The Mathematics of Gambling》。

Q.E.D.


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“杀人”,英文名为"Mafia Game",广泛流传于国内外。上个星期我们在玩的时候被Elchanan Mossel发现,然后他给了一个talk,内容就是杀人的理论分析。

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问题:你有两个信封可以选择,每个信封里有一定数量的钱,已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的两倍。你可以选择一个信封,打开之后你能看


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