球面上随机N个点在同一个半球上的概率

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这个题目是当年北大概率课上陈大岳老师出的练习题目,当时是一个简单情形,球上4个点组成的四面体包含球心的概率。最近在MITBBS上看到又有人提及。我在这里写一下解答。

这个题目事实上是1962年J.G. Wendel发表于Math. Scand的论文A problem in geometrical probability。论文给出了一个更一般性的结论:d-维空间的单位球面上随机分布的N个点,全在同一个半球上的概率是:

\[\begin{equation}\text{P}_{d,N} = 2^{-N+1}\sum_{i=0}^{d-1}{N-1\choose i}\label{ans}\end{equation}\]

不过我很不喜欢这篇文章的证明过程。在这篇论文证明的基础上,可以抽象出来另外一种方法,我觉得更接近于问题的本质:

首先随机抽取 \(N\) 个点 \(x_1,\cdots,x_N\) ,考虑它们在球面上的对称点。在这 \(N\) 对对称点各取其一,一共有 \(2^{N}\) 种取法。我们下面将这些取法当成样本,计算这里面有多少个样本满足 \(N\) 个点都在同一个半球上。不考虑发生概率为0的边界情况,对于任何一个半球,恰好有一个样本满足所有点都在这半个球面上。接下来我们只需要计算有多少个不同的半球,对应不同的样本。

半球与球面上的点有一一对应关系,这一点是这个半球的「极点」。以 \(x_i\) 为垂线,经过圆心画一个平面(d-1维),一共形成 \(N\) 个平面。这些平面将球面划分为若干个区域。很容易发现,对于同一个区域的点所对应的半球,都包含同一个样本;不同区域的点对应的半球,则包含不同的样本。

这就是说位于同一个半球的样本数量等于 \(N\) 个经过球心的 \(d-1\) 维平面将球面划分的区域的数量,即 \(2\sum_{i=0}^{d-1}{N-1\choose i}\) 。从而可得最终的结论(\ref{ans})。

Q.E.D.


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不断取数,直到出现排名为第二大的数,最后取出的数将和原序列的概率分布一模一样。把第二大改成第三大、第二小、第三小等等答案都是一样的。


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