双信封悖论和围城效应
问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的两倍。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。
推断：你应该更改你的选择
- 假设你打开信封后发现里面钱的数量为A。
- A是较小的钱数的概率为1/2，为较大的钱数亦为1/2。
- 如果A是较小的钱数，则另一个信封里钱数为2A；
- 如果A是较大的钱数，则另一个信封里的钱数为为A/2。
- 所以另一个信封里的钱数的期望为 E = 2A×1/2+A/2×1/2=5A/4，大于A。
- 你应该更换你的选择。
想想看，这个问题和推断是不是有点像围城效应？
很显然，上面的推断结果是有问题的。关键在于第二条，如果上面推断中的第二条成立的话，我们假设P(A)为两个钱包里的钱数为（A/2，A）的概率，那么将有P(A)=P(2A)，从而有一个定义在一个无穷集上的均匀分布，这是不可能的。
上面这个问题以前就讨论过，最近一个同学问起这个悖论的变种：
问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的10倍。而且两个信封里的钱的数量是
的概率是
，其中
。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。
推断：你应该更改你的选择
- 假设你打开信封后发现里面钱的数量为A。
- 如果
，另外一个钱包有10块钱，你应该更换你的选择。 - 如果
，另一个钱包为10A的概率为1/3，有A/10块钱的概率为2/3。 - 另一个钱包的期望钱的数量为17A/5，大于已选的钱包的钱数A。
- 你应该更换你的选择。
这个推断几乎没有问题，一句话的总结就是，在一个期望无限收益的游戏里，玩家不可能得到满足（达到期望值）。
第二个还“已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的两倍。”啊？
嗯，写错了，应该是10倍。
那么将有P(A)=P(2A)，从而有一个定义在一个无穷集上的均匀分布，这是不可能的。
不好意思，这一句话我没有看懂。请问能不能给我解释一下呢？
谢谢！
第一段推断的第二条蕴含了 P(A)=P(2A)，而A是任意，故有 P(A)=P(2A)=P(4A)=P(8A)=...。但是P(A)+P(2A)+P(4A)+...<=1，从而P(A)=0.
But why do you think the space is R. It seems to be we are talking about probability on a discrete space because when you open the envelope you already know A. The problem, IMHO, is that one should consider not only the expectation of the return but also the risk in logical thinking. The seemly 1/4A return is the payoff of the risk one is willing to take.
第二条应该说的是在已知A的情况下，P(A)=P(2A)=1/2，这是一个条件概率吧？
To Yuhong: 我们没有假设概率空间是R。事实上我们假设概率空间是离散的，从而在A，2A，....上是等概率的，但这对于离散概率而言是不可能的。
To easing: P(A)为两个钱包里的钱数为（A/2，A）的概率，A是任意的，不是指条件概率。
请解释下"如果A>1，另一个钱包为10A的概率为1/3，有A/10块钱的概率为2/3"及计算期望收益。
如果我理解没错的话，假设A是10^n，由于(10^{n-1}, A)的概率是2^{1-n}, 而(A, 10^{n+1})的概率是2^n, 比一下就是1:2
多谢hsunshine(2^n应为2^-n)。
但是期望为什么是无限大呢？既然A是有限值，那么17A/5也是有限值。
不太明白
为什么第二次的期望大就应该改变选择
5 所以另一个信封里的钱数的期望为 E = 2A×1/2+A/2×1/2=5A/4，大于A。
6 你应该更换你的选择。
因为 你算第一次选的时候 你的期望还不是 5A/4？
两次期望一样啊 我觉得错就在于把 现实和期望比 那怎么比呢？
所以如果讲道理的话，期望只能和期望比
我也这么觉得
现实不能和期望比
期望是5A/4 但是实际上只有A 或 A/2
那个期望是条件期望，就是说在现在收益已经固定为A的情况下，更换信封的收益的期望是5A/4。
I dont understand hehehehhe... but im testing this anyways
所以我不认为是第 2 步错了
第一步 打开一个信封后 ，本质上没有获得 任何知识或者信息 ，只是知道我们可能拿到钱的范围
所以对 是拿到 多的钱和少的钱 第二步和第一步的选择是没有区别的
感觉说得不够深入，也不是很有说服力。
有没有想关的文献呢？
我认为，这个问题，在于现在的期望值的价值基准的 计算的一些缺陷。
应该结合风险，来计算当下的价值，即已经打开的信封的价值，
也就是说，现在的打开的信封价值不仅仅是A。
未来的期望行为，包含了风险。
而已有的事物，它的价值也应该包含已经承受的风险。
而这个信封的钱数，是预先放下的，它并未包含这个选择并打开第一个信封时候的风险。
经过激烈的思想斗争，选择了一个信封，并打开。那么这个行为，使得眼下的信封，多了某种价值。而不仅仅是拥有钱数A。
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打开的信封钱是A， 未打开的是B。
1.根据题设的 两倍钱数 关系。
2.信封是否打开，不能改变现有的有效信息。即，打开信封后，A钱多钱少概率还是均等的0.5。
A钱多，概率0.5，则设 A=2m ，显然，未打开的B=m
A钱少，概率0.5，则设 A=n， 显然，未打开的B=2n
那么，结合风险的价值V
已打开的信封的价值V： V1= 0.5*2m + 0.5*n = m + 0.5n
未打开的信封的价值V： V2= 0.5*2n + 0.5*m = n + 0.5m
要比较V1 和 V2 大小，显然是随着 m和n 的值变化的。
小强太牛了
这都是啥呀！进错地了！！晕
在双封信悖论中，若我们给这个信封里的钱加上 上限和下限 ，那我们会发现当我们拿到上限之后，若进行交换，那么我们所损失的钱，将等于之前所有情况的预期交换价值总和.也就是说，若我们每次都进行交换，那么我们的总收益是0.这样一来，这个悖论就不成立了.但我无法将这一推导，提升到R的定义域上.不知道哪位数学高手解决下.
随机变量的样本空间只含两个离散样本A(少钱)，2A(多钱)，每个样本的取值概率都是0.5，这在试验前、中是明确的。
这个随机变量的期望是E[X]=A*0.5+2A*0.5=1.5A.这在试验前、中都是明确的。
根本不含有3.4.5所隐含的3个样本：A、2A、A/2。