命题：实数集$\mathcal{R}$上的任何一个可数种颜色染色方案，都存在四个不等的同色点$x, y, z, w$使得$x+y=z+w$。

这个问题是一个月前在Computational Complexity看到的。前两天在测不准原理还是不确定性原理我提到了不可证明问题，今天顺便把上面这个问题拿出来溜一溜。

这是一个非常非常自然的问题，看上去就是一个普通的组合问题，类似于Ramsey问题的变种，而且研究这个问题的（包括Erdos!）也多数是组合学家。但其答案却出人意料，因为这个问题被证明是不可证明的，它独立于ZFC公理体系:

定理：此命题成立当且仅当连续统假设不成立。

而连续统假设在上个世纪七十年代便已经证明了独立于ZFC。

上面等价性定理的证明在这里(pdf，英文)。证明过程很短。即便我对集合论了解甚少，对我来说除了Fact 1.3之外，其余的都很好懂。

PS：做算法和复杂性的不要错过这个blog：Computational Complexity。从blog标题就能看出它的内容了。

PS2：网友yue给我推荐了一个信息和数学类的blog，Matrix67，据称内容为50% Informatics, 50% Mathematics, and 50% Imagination。令人惊奇的是，blog作者居然是北大中文系的。这位兄弟如此喜欢数学，完全可以向其前辈学习一下，从中文系转系到数学系去，这是有过先例的。

© zhiqiang for 阅微堂, 2007. | 链接 | 7 条评论

我前方是一个美丽的背影。
此刻，在我观测之前，她是50%的ＭＶ，50%的ＫＬ。是两者量子态的迭加。
我摒住呼吸，轻轻的踏上一步，头微微一扭---
说时迟那时快，在这一瞬间，波函数轰然塌缩，一切都无可挽回了。
我默默的走开，心中的悲哀难以自抑。
我知道我刚刚杀死了一名绝世美女。

最近在看《上帝掷骰子吗——量子物理史话》，刚看到第七章不确定性。本来这些想法应该把书看完再写，有些问题在后面章节已经有解答。但我担心作者所写的影响我自己的思考，所以先写一点。

Uncertainty Principle是海森堡在1927年提出的。最开始的思想大致是：粒子位置的不确定性乘上粒子质量再乘以速度的不确定性不能小于一个确定量——普郎克常数。直观的看来

为了预言一个粒子未来的位置和速度，人们必须能准确地测量它现在的位置和速度。显而易见的办法是将光照到这粒子上，一部分光波被此粒子散射开来，由此指明它的位置。然而，人们不可能将粒子的位置确定到比光的两个波峰之间距离更小的程度，所以必须用短波长的光来测量粒子的位置。现在，由普郎克的量子假设，人们不能用任意少的光的数量，至少要用一个光量子。这量子会扰动这粒子，并以一种不能预见的方式改变粒子的速度。而且，位置测量得越准确，所需的波长就越短，单独量子的能量就越大，这样粒子的速度就被扰动得越厉害。换言之，你对粒子的位置测量得越准确，你对速度的测量就越不准确，反之亦然。^[1]

按照这个意思，Uncertainty Principle应该是指测不准原理。在量子物理史话中则指出，量子物理学家在这个方面走的更远。后来，Uncertainty Principle更多的被翻译为不确定性原理。

这中间有什么区别呢？直接从字面意思上看就OK了。测不准原理多半还有一种可能性：“一个电子实际上是同时具有准确的位置和动量的，只不过我们出于某种限制无法得知罢了”^[2]。

但哥本哈根派严厉地打击这种观点，物理量必须依赖于观测而存在，所以根本就没有一个电子实际上同时具有准确的位置和动量这样的说法(因为观测不到)：^[2]

不存在一个客观的，绝对的世界。唯一存在的，就是我们能够观测到的世界。物理学的全部意义，不在于它能够揭示出自然“是什么”，而在于它能够明确，关于自然我们能“说什么”。没有一个脱离于观测而存在的绝对自然，只有我们和那些复杂的测量关系，熙熙攘攘纵横交错，构成了这个令人心醉的宇宙的全部。测量是新物理学的核心，测量行为创造了整个世界。

但我对这些一直心存疑问，那便是“观测”的本质。我不太明白物理学上的“观测”是如何模型化的。但理论计算机里面有相同的概念，它便是计算，相应的测不准原理和不确定性原理则对应了不可计算和不可证明(同样碰巧的是它们的英文也同时都是undecidable，虽然后者有时候也用independent)。

何谓计算？一个历史上公认的原理(但也是无法证明的)便是：

Turing计算模型是普适的(universal)。

这样在Turing模型下，我们便定义了不可计算，指在Turing计算模型下无法计算的问题。一个经典的不可计算问题便是Turing停机问题，指判断任何一个Turing机是否停机。

而不可证明则是指与某公理体系独立的问题，相当于不确定。比如平行线第五公设（过直线外任一点只有一条直线与之平行），它对于之前几条几何公理而言便是不可证明的。第五公设它可以是正确的，相应发展为欧几里得几何；也可以是错误的，从而导致非欧几何。

如果把计算对应观测，不可计算和不可证明的关系十分类似于测不准原理和不确定原理。但物理学则认为测不准等同于不确定。但在计算理论上不可计算和不可证明等同么？无法计算就是不确定的吗？显然不是，一个例子便是在信息论中应用广泛的Kolmogorov complexity。

待续...

[1] 《时间简史》

[2] 《上帝掷骰子吗——量子物理史话》

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