还记得盗梦空间的一个经典场景，艾伦佩姬用两面平行相对的大镜子形成一个无限的走廊吗？网友sonny发过来一个有趣的问题以及一张图片。

而上面的图就是sonny对三面镜面所作的模拟，他发现长方形物品通过三枚镜面的反射后最后形成一个空心球的轮廓。

如果只是两面镜子，sonny发现物品的镜像会形成一个环。同时sonny发现他很难模拟三枚以上的镜面，模拟过程显得不稳定。

通过计算可以发现，sonny的发现是正确的。没事儿大家可以想象下。

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利用线性代数可以给某些问题很精妙的证明，Matrix67就给出了一个这样的例子，这也让我想起以前看见的另外一个例子，分享如下：

是否存在不全相等的$2n+1$个数$x_1,x_2,\cdots,x_{2n+1}$，使得任意删除一个数，剩下$2n$个数可以均分为2组，每组$n$个数的和都相等。

如果限定$x_i$是整数，这就是一个简单的高中（初中？）数学竞赛中的数论题，

由于$2n+1$个数，任意去掉一个数剩下的数的和都是偶数，这意味着所有$2n+1$个数的奇偶性相同。如果它们都是偶数，那么将它们都除以2，如果都是奇数，将它们减一再除2。这样操作之后得到的数仍然满足上面的条件，这样经过若干步之后所有数都相等（等于0或者-1），这意味着原来的原来的$2n+1$个数必然全部相等。

很可惜，如果不要求$x_i$是整数，上面的证明就失效了。但利用线性代数里的一些简单事实，我们很快就能得出同样的结论，这样的$a_i$必然全部相等

记$x$为列向量$(x_1,x_2,\cdots,x_{2n+1})$，假设去掉$x_i$之后，剩下来的数可以分为和相等的两等分子集，那么存在行向量$a_i$使得$a_ix=0$，其中$a_i$的第$i$个位置为0，其余$2n$个元素恰好有$n$个1和-1。

令矩阵$A=[a_i]$，其中$a_i$是$A$的第$i$行。那么$Ax=0$，我们证明$x$的所有元素都必然相等。

令$J$为同样大小的全1矩阵，那么$A+J$除了对角线上都是1之外，其余位置都是偶数，这样矩阵行列式$det(A+J)$的表达式中有一个唯一的奇数，这意味着$det(A+J)\neq 0$，从而$rank(A+J)=n$，所以$rank(A)\geq rank(A+J)-rank(J)=n-1$。

故$Ax=0$至多一个非零解，可验证$x=(1,1,\cdots,1)$就是它的唯一解。

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