阅微堂 » 博弈论 http://zhiqiang.org/blog 数学、金融、计算机 Sat, 19 May 2012 13:47:10 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.3.2 TCS: Game Theory & 纳什均衡的计算 http://zhiqiang.org/blog/science/computer-science/game-theory-computing-nash-equilibrium.html http://zhiqiang.org/blog/science/computer-science/game-theory-computing-nash-equilibrium.html#comments Thu, 13 Dec 2007 17:07:52 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/posts/game-theory-computing-nash-equilibrium.html 博客 » 计算机科学 » ，，，，， »

Game Theory即博弈论，目前在经济学中运用得最多(纳什更因为他在这上面的工作拿到了诺贝尔经济学奖)。但在最近几年，理论计算机界对它的研究也很热。

Game Theory主要是研究在两人甚至多人的系统中，各方如何选择自己的策略使自己的效益最大化。这里每个人的收益不光决定于自己的决策，还决定于其它人的决策。主要有两种不同的游戏，一种是两人零和游戏，只一个人赢的就是另一个人亏损的。一个典型的例子是下面这个，前两天有人在水木社区数学版问的：

某个村庄上只有一名警察，他要负责整个村的治安。小村的两头住着两个全村最富有的村民A和B，A、B分别需要保护的财产为2万元、1万元。整个小村某一天来了个小偷，要在村中偷盗A和B的财产，这个消息被警察得知。

因为分身乏术，警察一次只能在一个地方巡逻；而小偷也只能偷盗其中一家。若警察在某家看守财产，而小偷也选择了去该富户家，就会被警察抓住；若警察没有看守财产的富户家而小偷去了，则小偷偷盗成功。

小偷将会去偷哪家？警察又应该守哪家？

还有一种是非零和博弈，经典的囚徒困境就是这一类。在这类博弈中，有可能产生合作实现双赢或者互相欺骗最后双输。

但无论哪种游戏（零和博弈可以看作非零和博弈的一种特殊情况，而n人非零和游戏又可视为n+1人的零和游戏），都存在均衡策略（指各方在知道对方的策略后不会主动改变自己现在的策略）。这就是纳什获得诺贝尔奖的主要结果，后世称此种均衡态为纳什均衡。

理论计算机里的Game Theory主要是研究计算纳什均衡的算法和复杂度。对于两人零和游戏，均衡点的计算即为一个线性规划的问题，目前已经有有效的算法。对于两人(和多人)非零和游戏，均衡点的计算已经被证明为PPAD-complete，一个在P和NP之间的复杂类。

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]]> http://zhiqiang.org/blog/science/computer-science/game-theory-computing-nash-equilibrium.html/feed 6 囚徒的困境 http://zhiqiang.org/blog/science/prisoners-dilemma.html http://zhiqiang.org/blog/science/prisoners-dilemma.html#comments Thu, 25 May 2006 16:05:06 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/315.html 博客 » 自然科学 » ，，， »

译者: 吴鹤龄
作者: （美）庞德斯通 / 吴鹤龄
副标题: 冯·诺伊曼、博弈论，和原子弹之谜
isbn: 7564005726
页数: 358
出版社: 北京理工大学出版社
装帧: 平装
出版年: 2005-9-1

这是一本关于博弈论及其在冷战和核军备竞赛中的作用的出色的社会历史教科书。不过我感兴趣的是博弈论本身。

博弈论中最有名的问题即本书的标题——囚徒的困境，这个问题太经典，也太常见了。此书花了很大一部分篇幅详细分析和应用这个问题。后面也给出了在多次博弈中的最优策略——一报还一报。不过呢，这些以前都在别的地方见过，倒是另外一个变种——胆小鬼博弈，让我有些新鲜感。这个博弈，就像很多蹩脚的电影一样，两个大佬都想向对方展现自己无比的勇气，所以他们决定各自开着豪华汽车对撞，那个先打方向盘的就输了（当然一般电影里面主角总能坚持到最后）。

上面胆小鬼博弈的多人游戏版本叫做志愿者的困境，可以引申出有趣的跟直观相悖的结论。这点待我有空再来整理。另外一个更有趣的问题是：

苏比克的美元拍卖：一个极为简单，非常有娱乐性和启发性的客厅游戏。

游戏中一张一美金纸币被当众拍卖，规则有两条：

  1.   同任何拍卖一样，钞票归价格最高者所有，新的报价必须高于上一次报价，直到规定时间内没有新的报价结束。
  2. (不同于索斯比拍卖行的规则！)报出第二高价这也要付出他最后一次报价的款项，但什么都得不到。你当然不想成为这样的竞拍人。

这个游戏最后会演变成什么样子呢？如果是你，你会怎么做？想一想这些问题是很好的思维训练。

博弈论的优美之处在于它不但有深刻的数学背景，又有强大的现实中的应用。比如，上面这个美元拍卖问题，看上去只是一个游戏，可是在现实中不难找到类似的困境——在等公共汽车时总想再等几分钟，最后才决定放弃而招呼一辆出租车。

另，前一篇文章钱应该怎么分？中提到的财产分配问题被公认为有史记载的最早的博弈论的应用，大约在公元前500年左右。

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]]> http://zhiqiang.org/blog/science/prisoners-dilemma.html/feed 0 钱应该怎么分？ http://zhiqiang.org/blog/science/how-should-the-money.html http://zhiqiang.org/blog/science/how-should-the-money.html#comments Wed, 24 May 2006 15:05:24 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/314.html 博客 » 自然科学 » ，，，， »

系列：生活中的数学
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今天上课的时候老师讲的，我觉得很有意思。

在犹太教法典《塔木德》里讲述了这么一个案例：一名富翁向他的三位妻子许诺他死后将给大老婆300金币，二老婆200金币，小老婆100金币。可是等他死后人们清算遗产的时候，发现这名富翁撒谎了，他只有300金币的财产，问这时候他的三名妻子各应该分多少金币？

《塔木德》给的答案是150，100，50，看上去似乎没什么惊奇的，不就是按照比例分配么？可是同时给出的另外情况，如果富翁只有200的遗产或者100的遗产，此时又该如何呢？最后答案分别是75, 75, 50和100/3, 100/3, 100/3。这就很难从直观上解释了。

不过牛人就是不一样，2005年的诺贝尔经济学奖得主罗伯特-奥曼，在他1984年的一篇文章中给出了这种分配方案的理论依据，严格证明了在“假设的模型”下，上述分配方案是最优的。严格的理论推导无法在这里推出，在这篇文章犹太法典中的三妾争产与2005年的诺贝尔经济学奖金中有对上面的特殊案例的直观解释。

上面事例也告诉我们，研究问题要多看看古籍，外国人读圣经等，咱们也可多念念《庄子》啥的，说不定就从哪段话里得到了宇宙大一统的真理呢。

© zhiqiang for 阅微堂, 2006. | 链接 | 3 条评论

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