孙博告诉我的，求证

在任意简单有向图$G(V,E)$中，存在一个顶点$v$，使得$|N^2(v)|\geq 2|N(v)|$，其中$N(v)=\{u\in V:(v,u)\in E\}$, $N^2(v)=\{u\in V:(v,u)\in E \vee\exists w\in V, (v,w)\in E,(w,u)\in E\}$。

通俗得讲就是在一个简单有向图中存在一个顶点，走至多两步能达到的顶点数至少为走一步能达到的顶点数的2倍。

注：简单有向图指任两点之间至多一条边。

看上去蛮简单的，事实上很不好做，是一个OPEN多年的问题...

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今天香港中文大学的Prof. Cai给我们上graph algorithm。第一节课上教我们玩魔方，先给每人发了一个。我喜欢这样的教学方法 。

魔方的解法，在网上已经有无数了，基本上的思路都是几个定式，玩的时候记住这些定式即可。课上Cai给我们演示了一个他自创的定式，很可惜，我目前为止只学会弄出一面来。

OK，这篇文章的主要目的是讲魔方里的数学，对魔方的群结构研究网上也已经有很多，这里不谈了。魔方总共有(8! × 3⁸⁻¹) × (12! × 2¹²⁻¹)/2 = 43252003274489856000=4.3× 10¹⁹个不同的状态。每个状态看作图上的一个点，则解魔方问题可以视作求一个超大图上的路径问题。这个图是如此之大，使得看上去求最短路这么简单的问题都变得非常困难，事实上，用计算机也不可能直接算。

虽然这个图是如此之大，而且边很少（每个顶点只引出12条边），但这个图的直径却非常小。可以证明，任何一种魔方的状态，都可以在26步之内复原。（见Optimal solutions for Rubik's Cube)

这样的图与以前提到过的洗牌模型里面的图非常相似，结构简单，定点巨多，但混合速度却特别快（从一点会以非常快的速度达到其它点），做算法的很喜欢这种图。

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