问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的两倍。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。

推断：你应该更改你的选择

1. 假设你打开信封后发现里面钱的数量为A。
2. A是较小的钱数的概率为1/2，为较大的钱数亦为1/2。
3. 如果A是较小的钱数，则另一个信封里钱数为2A；
4. 如果A是较大的钱数，则另一个信封里的钱数为为A/2。
5. 所以另一个信封里的钱数的期望为 E = 2A×1/2+A/2×1/2=5A/4，大于A。
6. 你应该更换你的选择。

想想看，这个问题和推断是不是有点像围城效应？

很显然，上面的推断结果是有问题的。关键在于第二条，如果上面推断中的第二条成立的话，我们假设P(A)为两个钱包里的钱数为（A/2，A）的概率，那么将有P(A)=P(2A)，从而有一个定义在一个无穷集上的均匀分布，这是不可能的。

上面这个问题以前就讨论过，最近一个同学问起这个悖论的变种：

问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的10倍。而且两个信封里的钱的数量是$(10^n,10^{n+1})$的概率是$2^{-n}$，其中$n=1,2,\cdots, +\infty$。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。

推断：你应该更改你的选择

1. 假设你打开信封后发现里面钱的数量为A。
2. 如果$A=1$，另外一个钱包有10块钱，你应该更换你的选择。
3. 如果$A>1$，另一个钱包为10A的概率为1/3，有A/10块钱的概率为2/3。
4. 另一个钱包的期望钱的数量为17A/5，大于已选的钱包的钱数A。
5. 你应该更换你的选择。

这个推断几乎没有问题，一句话的总结就是，在一个期望无限收益的游戏里，玩家不可能得到满足（达到期望值）。

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作者: 张敞
出版/发行时间: 2000-02-01  
出版社: 时事出版社
丛书名: 守望者文丛：新历史主义随笔系列

历史解读比读正传更有意思，因为其中有一些八卦，有一些野史，也有一些正统历史未能涉及到的方方面面，另外，在这样的书中，作者通常会加入自己的观点和判断，以及通过独特的视角来描述历史。千年悖论就是这样的一本书。

武人吴三桂不会去更多地思考诸如生命的终极意义之类的问题，他兴致勃勃地沉醉在他的世界中，他的痛苦和欢乐都是古典的、沉重的、全神贯注的，他存在的目的很明确，那就是在大明朝这座巨大的山体上尽力攀登，海拔的上升就意味着幸福的临近。但是，就在他兴致勃勃地攀到半山腰的时候，他突然发现，他脚下所踩的原来是座冰山，正在面临着不可避免地缓慢消融。即使攀爬到最高处，最后的结局依然是毁灭，而不是达到永恒的幸福之源。

他体验到了存在的荒谬。

冲冠一怒为红颜，背后到底有一个什么样的故事？吴三桂从一个大明忠臣，先降李自成，再投大清，中间如何演化？千年悖论的第一篇“无处收留”就把我们带入了明末清初。

在苛刻的道德伦理标准之下，一个人很容易被推入冰炭相激的两极选择之中，承受自然人性和社会伦理两方面同样强烈的撕扯，而没有第三条路可走。王朝版荡，你不想做忠臣就只能选择做贰臣，不成君子只能成为小人，不成为天使就只能狠狠心做魔鬼，不进入圣祠就只能跪在历史的耻辱柱前。这里，只有道德教条的严酷压力，没有为现实人性的软弱和不完美预留一点弹性空间。

一个苛刻的道德伦理标准，除早就少数几个圣人之外，只会让人变得更卑微，猥琐，放纵。

人们有充分的智慧来解决道德高压和自然欲望间的矛盾。他们一方面通过通过伪饰行为来装点门面，另一方面背地里则是心照不宣地沉沦在道德禁区里，享受矫枉过正的物质欲念的满足。道德价值的过分张扬的最终结果却是整个价值体系的被削弱扭曲和人欲中卑劣丑恶一面的大放纵大宣泄。

想想现在泛滥的励志类书籍和网络上充斥的“男人30岁之前必须做的事情”等类似的东西，它们真的有价值么？

在整本书里，作者喜欢也擅长于分析人物的心理，能把人物性格，心理与个人当时所处大环境的命运相结合，深刻洞悉人性的复杂与变化，在后面的篇章中，“为朱元璋画像”，“一个帝王的生活史”等文章尤其明显。整本书来看，文字华丽，很多地方写的极有气势，很合我的口味，写下此文强烈推荐。

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多做思维游戏有助于保持和提高智商

选钱袋

现在有两个人，"酷毙"与"帅呆"，正在花园里一边喝着酒，一边讨论关于精灵的神话。正好有个精灵从此经过，被他们的对话吸引，精灵认为在 这个时代，还有人这样仰慕和了解他们值得鼓励，于是便决定给这两个人一点奖赏。于是，他把一笔钱放入两个信封，将信封分给"酷毙"与"帅呆"，出于喜欢恶 作剧的个性，精灵透露，这两个信封里金额不同，其中一个是另一个的两倍，但他没有说哪个多哪个少。然后精灵随着一缕轻烟消失无踪。

在精灵消失后，两个人拆开信封，偷看自己拿到的那笔钱，同时心里忖度着，自己到底拿到多的那份？还是少的？" 酷毙"心想：这是笔意外之财，我拿到的数额已经很不错了，如果这是多的那份，"帅呆"就只有我的一半；不过，他也可能很走运，拿到我的两倍。再回顾整个过 程，精灵是先把钱装好，密封之后才随机发给我们，因此这是一个对等赌局，两人拿到大份的几率是一半一半。所以也许我应该跟"帅呆"谈个交易，互相交换。既 然我赢得一倍金额和损失一半金额的几率都是50%，则仍有期待净利：我的交换期望收入将是现在所有的 1/2*2+1/2*1/2=5/4倍。根据决策原则，"酷毙"认为这对他相当有利，便决定和"帅呆"交换。即使"酷毙"没有拆开信封也可以作出相同决定，因为支票的面额并不影响整个思考逻辑。"帅呆"以同样的方式思考后，也认为与"酷毙"进行交易对自己较有利，于是当"酷毙"一提 出交换的建议，"帅呆 "马上欣然允诺。

两人的情况完全一样，都认为自己能遵从一定的逻辑推理规范。那么，有没有可能两人同时都是对的呢？毕竟这是个零和游戏，"酷毙"赢就等于 "帅呆"输，反之亦然，既然不能双赢，就一定有人是错的。但这两人不都是经过缜密逻辑思考了吗？

钱包悖论

一个类似的问题[钱包悖论]：史密斯教授和两个数学学生一起吃午饭。

教授：我来告诉你们一个新游戏，把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱，钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个人钱包里的所有钱。

乔：呣……，如果我的钱比吉尔的多，她就会赢掉我的钱，可是，如果她的多，我就会赢多于我的钱，所以我赢的要比输的多。因此这个游戏对我有利。

吉尔：如果我的钱比乔多，他就会赢掉我的钱。可是，如果他的钱比我的多，我就可以赢，而我赢的比输的多，所以游戏对我有利。

问题：一个游戏怎么会对双方都有利呢？注意我们可以假设不但不知道对方的钱的数量，连自己的钱的数量也忘了。

三门问题

一个老问题：你上台参加一个节目：有三个箱子，其中一个装着宝贝。让你猜宝贝藏在哪个箱子里，如果能猜中宝贝就是你的。

你只好随机选了一个。然后主持人先打开了另一个箱子，里面是空着的，这时候主持人问你：现在你可以选择另一个箱子，你换不换选择？

令人惊讶的是这个问题在无数地方引起无数的讨论，可谓长盛不衰。主要原因是解答很有大的分歧。因为题目本身就说得不够清楚。

笼统而言，简单的概率知识可以算出你应该选择另外一个箱子：这将使你得到宝物的概率从1/3增加到2/3。但问题就此结束了么？仔细分析就会发现，上面的概率分析基于主持人事先知道她打开的箱子会是空的。事实上，如果主持人打开的箱子里面是空的只是一个偶然的话，你换箱子是没有任何作用的。

© zhiqiang for 阅微堂, 2006. | 链接 | 9 条评论