最有名的关于换还是不换的问题是三门问题，已经被研究得比较透彻。这里想说的是另外一个悖论。

换还是不换(一)

我以前提到过这个问题。

假设你碰到一个精灵。精灵拿出两个钱袋，并告诉你其中一个钱袋的钱数是另外一个钱袋的两倍。

你随机挑选了一个钱袋，发现其中有$x$块钱。接下来，精灵给你一个换钱袋的机会。你会想，另外一个钱袋的钱要么是$\frac{x}{2}$块钱，要么是$2x$块钱，平均看是$\frac12\frac{x}{2}+\frac122x = \frac{5x}{4}$块钱。显然，换成另外一个钱袋会更划算一些。

但问题是，如果你一开始就选择了另外一个钱袋，你会使用一样的逻辑，发现换成现在这个钱袋更划算一些。问题出在哪里呢？

我之前给出的解释是：假设$P(a)$为两个钱袋的钱为$a$和$2a$的概率。那么上面推理中，另外一个钱袋的期望钱数是$\frac12\frac{x}{2}+\frac122x = \frac{5x}{4}$，当且经当$P(x)=P(2x)$。而对任意$x$都满足该式的概率分布并不存在，否则选择一个$a$使得$P(a)\neq 0$，则

$$1\geq P(a)+P(2a)+P(4a)+\cdots = P(a)\times\infty = \infty$$

矛盾。

换还是不换(二)

我以前以为，上面这个问题已经被彻底解决。但最近阅读的《蚁迹寻踪及其他数学探索》提到了一个类似的问题，这个问题说明上面的答案还不是问题的本质。

假设这次换了一个精灵，这个精灵给的两个钱袋，其中一个钱袋钱数是另外一个钱袋的三倍。并且，精灵按照确定的概率分布来放钱，其中钱较多的钱袋钱数为$3^k$的概率恰好是$2^{-k}$，其中$k=1,2,3,\cdots$。

同样，你选择了一个钱袋，然后精灵给了你一个选择换另外一个钱袋。如果你拿到的钱袋里只有1块钱，另外一个钱袋里肯定是3块钱，你必然会选择换成另外一个钱袋。假设你的钱袋里有$x$块钱，且$x>1$。那么根据精灵放钱的概率分布，另外一个钱袋有$\frac23$的概率为$\frac{x}{3}$，有$\frac13$的概率为$3x$，也就是说，期望值是$\frac{11x}{9}$。

这样，你会发现，无论如何，你都应该换成另外一个钱袋。

但问题是，如果你一开始就选择了另外一个钱袋，你会使用一样的逻辑，发现换成现在这个钱袋更划算一些。问题出在哪里呢？

【悲剧了，原来我以前就写到过这个问题，而且写得更清楚，见双信封悖论和围城效应。】

© zhiqiang for 阅微堂, 2012. | 链接 | 14 条评论

问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的两倍。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。

推断：你应该更改你的选择

1. 假设你打开信封后发现里面钱的数量为A。
2. A是较小的钱数的概率为1/2，为较大的钱数亦为1/2。
3. 如果A是较小的钱数，则另一个信封里钱数为2A；
4. 如果A是较大的钱数，则另一个信封里的钱数为为A/2。
5. 所以另一个信封里的钱数的期望为 E = 2A×1/2+A/2×1/2=5A/4，大于A。
6. 你应该更换你的选择。

想想看，这个问题和推断是不是有点像围城效应？

很显然，上面的推断结果是有问题的。关键在于第二条，如果上面推断中的第二条成立的话，我们假设P(A)为两个钱包里的钱数为（A/2，A）的概率，那么将有P(A)=P(2A)，从而有一个定义在一个无穷集上的均匀分布，这是不可能的。

上面这个问题以前就讨论过，最近一个同学问起这个悖论的变种：

问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的10倍。而且两个信封里的钱的数量是$(10^n,10^{n+1})$的概率是$2^{-n}$，其中$n=1,2,\cdots, +\infty$。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。

推断：你应该更改你的选择

1. 假设你打开信封后发现里面钱的数量为A。
2. 如果$A=1$，另外一个钱包有10块钱，你应该更换你的选择。
3. 如果$A>1$，另一个钱包为10A的概率为1/3，有A/10块钱的概率为2/3。
4. 另一个钱包的期望钱的数量为17A/5，大于已选的钱包的钱数A。
5. 你应该更换你的选择。

这个推断几乎没有问题，一句话的总结就是，在一个期望无限收益的游戏里，玩家不可能得到满足（达到期望值）。

© zhiqiang for 阅微堂, 2009. | 链接 | 23 条评论

多做思维游戏有助于保持和提高智商

选钱袋

现在有两个人，"酷毙"与"帅呆"，正在花园里一边喝着酒，一边讨论关于精灵的神话。正好有个精灵从此经过，被他们的对话吸引，精灵认为在 这个时代，还有人这样仰慕和了解他们值得鼓励，于是便决定给这两个人一点奖赏。于是，他把一笔钱放入两个信封，将信封分给"酷毙"与"帅呆"，出于喜欢恶 作剧的个性，精灵透露，这两个信封里金额不同，其中一个是另一个的两倍，但他没有说哪个多哪个少。然后精灵随着一缕轻烟消失无踪。

在精灵消失后，两个人拆开信封，偷看自己拿到的那笔钱，同时心里忖度着，自己到底拿到多的那份？还是少的？" 酷毙"心想：这是笔意外之财，我拿到的数额已经很不错了，如果这是多的那份，"帅呆"就只有我的一半；不过，他也可能很走运，拿到我的两倍。再回顾整个过 程，精灵是先把钱装好，密封之后才随机发给我们，因此这是一个对等赌局，两人拿到大份的几率是一半一半。所以也许我应该跟"帅呆"谈个交易，互相交换。既 然我赢得一倍金额和损失一半金额的几率都是50%，则仍有期待净利：我的交换期望收入将是现在所有的 1/2*2+1/2*1/2=5/4倍。根据决策原则，"酷毙"认为这对他相当有利，便决定和"帅呆"交换。即使"酷毙"没有拆开信封也可以作出相同决定，因为支票的面额并不影响整个思考逻辑。"帅呆"以同样的方式思考后，也认为与"酷毙"进行交易对自己较有利，于是当"酷毙"一提 出交换的建议，"帅呆 "马上欣然允诺。

两人的情况完全一样，都认为自己能遵从一定的逻辑推理规范。那么，有没有可能两人同时都是对的呢？毕竟这是个零和游戏，"酷毙"赢就等于 "帅呆"输，反之亦然，既然不能双赢，就一定有人是错的。但这两人不都是经过缜密逻辑思考了吗？

钱包悖论

一个类似的问题[钱包悖论]：史密斯教授和两个数学学生一起吃午饭。

教授：我来告诉你们一个新游戏，把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱，钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个人钱包里的所有钱。

乔：呣……，如果我的钱比吉尔的多，她就会赢掉我的钱，可是，如果她的多，我就会赢多于我的钱，所以我赢的要比输的多。因此这个游戏对我有利。

吉尔：如果我的钱比乔多，他就会赢掉我的钱。可是，如果他的钱比我的多，我就可以赢，而我赢的比输的多，所以游戏对我有利。

问题：一个游戏怎么会对双方都有利呢？注意我们可以假设不但不知道对方的钱的数量，连自己的钱的数量也忘了。

三门问题

一个老问题：你上台参加一个节目：有三个箱子，其中一个装着宝贝。让你猜宝贝藏在哪个箱子里，如果能猜中宝贝就是你的。

你只好随机选了一个。然后主持人先打开了另一个箱子，里面是空着的，这时候主持人问你：现在你可以选择另一个箱子，你换不换选择？

令人惊讶的是这个问题在无数地方引起无数的讨论，可谓长盛不衰。主要原因是解答很有大的分歧。因为题目本身就说得不够清楚。

笼统而言，简单的概率知识可以算出你应该选择另外一个箱子：这将使你得到宝物的概率从1/3增加到2/3。但问题就此结束了么？仔细分析就会发现，上面的概率分析基于主持人事先知道她打开的箱子会是空的。事实上，如果主持人打开的箱子里面是空的只是一个偶然的话，你换箱子是没有任何作用的。

© zhiqiang for 阅微堂, 2006. | 链接 | 9 条评论