这个问题在Yao的理论计算机课上整整讨论了2节课。它是一个算法设计问题，也极具趣味性。下面是它的一些介绍和解决方案([1])。

拜占庭帝国就是5～15世纪的东罗马帝国，拜占庭即现在土耳其的伊斯坦布尔。我们可以想象，拜占庭军队有许多分支，驻扎在敌人城外，每一分支由各自的将军指挥。将军们只能靠通讯员进行通讯。在观察了敌人以后，忠诚的将军们必须制订一个统一的行动计划——进攻或者撤退。然而，这些将军中有叛徒，他们不希望忠诚的将军们能达成一致，因而影响统一行动计划的制订与传播。问题是：将军们必须有一个协议，使所有忠诚的将军们能够达成一致，而且少数几个叛徒不能使忠诚的将军们做出错误的计划——使有些将军进攻而另一些将军撤退了。

抽象出来，可以表述成：

拜占庭将军问题：设计一个协议，一个司令要送一个命令给他的n-1个副官，使得
IC1. 所有忠诚的副官遵守同一个命令。
IC2. 假如司令是忠诚的，则每一个忠诚的副官遵守他送出的该命令。

约定：忠诚的将军将遵守协议，而叛徒则可能破坏协议，尽可能的干绕其它人的判断。叛徒是匿名的。而且最后不需要确定谁是叛徒。

注意司令也有可能是叛徒，所以IC2与IC1是不同的。

递归设计协议OM(n, m)为

OM(n, 0):

1. 司令发送命令给所有副官。
2. 副官按照接收到的命令行事。

OM(n, m):

1. 司令发送命令给所有副官，设副官i收到命令vi。
2. 分为独立的n-1轮：对每个副官i，将其视为司令，使用协议A(n-1, m-1)将vi发送到所有其它副官。
3. 这样每个副官都收到n-1条信息，每个副官都按照出现次数更多的命令行事（如果进攻和撤退的命令一样多，则默认取撤退）。

递归证明

引理：当n>2m+k，n个将军中至多k个叛徒，协议A(n, m)满足IC2，即司令是忠诚的，每个忠诚的副官将会执行司令的命令。

进而说明：

当n>3m时，n个将军，且至多m个叛徒，协议A(n, m)可以同时满足IC1和IC2。

更深刻的结论：

当n<=3m时，n个将军中的m个叛徒可以让将军们无法达成一致，也就是满足IC1和IC2的协议不可能存在。

参考：

1. The Byzantine Generals Problem, the first paper involved
2. 可信计算VII:拜占庭将军问题
3. Byzantine failure - Wikipedia, the free encyclopedia

PS: 标题里TCS是Theoretical Computer Science(理论计算机科学)的缩写，这篇文章同属于理论计算机介绍系列文章，算作理论计算机初步系列文章的补充吧。

© zhiqiang for 阅微堂, 2006. | 链接 | 5 条评论