注: 这个问题来自China Theory Week 2008的Open Problems Session。

我们知道在数学里证明一个东西的存在性的时候，有时候只证明了“存在性”，而且在证明过程中并没有说明如何找到它，这种证明方法被称为“非构造性证明”。有些流派的数学家对这种证明方法非常不满，具体这里就不详谈了。

这里要说的是，一个玩意儿，即时你知道它总是存在的，它也是可以算出来的，但是不是就一定能够很快的比如在多项式时间之内算出来呢？

Game Theory已经证明了在两人非合作博弈中，纳什均衡总是存在的，但是如何计算它确被证明是PPAD-hard的，一个被猜测不属于P的复杂类。

纳什均衡的计算问题不太好理解，下面介绍一个问题，描述比较简单非常容易理解。它有类似的效果，存在性可在数学上被证明，但如何计算它却不知道，复杂性也未知。

输入：一个$3n$点的图，顶点构成一个正$3n$边形，以及它们之间的$6n$条边。其中$3n$条为多边形的边，另外$3n$条边构成$n$个顶点互不重合的三角形。下图为一个$n=3$的例子。

输出：这个图的一种三染色方案（给定点染色，使任何有边相连的顶点都不同色）。

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继上次的硬币游戏（解答在此）之后，Sariel又出了一个有意思的题目。

给定平面上若干个点。证明总存在一个黑白染色方法，使得对于平面上任何一个直线，若此直线这一侧有多于50个点，则此侧的点颜色不完全一样。

更多：

1. 这是一个研究性问题，从一些论文里抽取，会比较难。
2. 50这个数字没有特殊的含义，改成4和8应该也可以。
3. 推广这个问题？

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命题：实数集$\mathcal{R}$上的任何一个可数种颜色染色方案，都存在四个不等的同色点$x, y, z, w$使得$x+y=z+w$。

这个问题是一个月前在Computational Complexity看到的。前两天在测不准原理还是不确定性原理我提到了不可证明问题，今天顺便把上面这个问题拿出来溜一溜。

这是一个非常非常自然的问题，看上去就是一个普通的组合问题，类似于Ramsey问题的变种，而且研究这个问题的（包括Erdos!）也多数是组合学家。但其答案却出人意料，因为这个问题被证明是不可证明的，它独立于ZFC公理体系:

定理：此命题成立当且仅当连续统假设不成立。

而连续统假设在上个世纪七十年代便已经证明了独立于ZFC。

上面等价性定理的证明在这里(pdf，英文)。证明过程很短。即便我对集合论了解甚少，对我来说除了Fact 1.3之外，其余的都很好懂。

PS：做算法和复杂性的不要错过这个blog：Computational Complexity。从blog标题就能看出它的内容了。

PS2：网友yue给我推荐了一个信息和数学类的blog，Matrix67，据称内容为50% Informatics, 50% Mathematics, and 50% Imagination。令人惊奇的是，blog作者居然是北大中文系的。这位兄弟如此喜欢数学，完全可以向其前辈学习一下，从中文系转系到数学系去，这是有过先例的。

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