今天一个朋友向我提起他参与北京买车摇号，他自己和周围十来人都没有摇中的事情，我关注了一下摇号的一些数据。

目前为止已经有四期摇号，第一期到第四期参与摇号的人数分别为187420、292280、397543、476861，每期摇中17600个号【数据来源】。

1

假设在未来各轮中参与人数不变，稳定在50万人左右。那么平均看，一个申请者可以在28个月摇中，如果家庭里夫妻双方都参与摇号，预期中奖时间为14个月。

注意，这个预期中奖时间并不是说能保证你在28个月内一定会摇中，而是说平均看，会需要28个月，有些人低于28个月，有些人长于28个月。

2

从过去四期的数据上看，每期申请者人数上次较快。先考虑一个虚拟的数学问题，如果每期申请人数增加5万，效果怎么样？

事实上，当每期申请人数增加的量超过中奖数量时，预期中奖时间达到无穷大。

3

上面的假设不能应用到实际中，因为申请人数不可能永远增长下去。假设北京市的总申请人数封底100万，即每个月申请人数新增5万，但增到100万就不继续增加。

此时，一个申请者的摇中所需的平均期数为54个月，大约4年半。如果家庭两夫妻都参与摇号，可以将这个时间缩短到25个月。

4

最终结论：要想摇到号，不如坐等下一次经济危机来的快，到时不但可以买车，买房贷款利率还能打七折。

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最近看到一个有趣的问题：

我们可以连续抛一枚均匀的硬币，并且随时可停下，在停下后可获得的回报为（正面出现次数/抛硬币的次数）。如果希望获得的回报越大越好，我们应该采取什么样的停止策略？

在第一次抛硬币时，如果出现正面时立即停止，此时获得一个最大的回报1，如果出现反面，则应该选择继续抛。假设前$n$次抛硬币出现了$k$次正面时最后能获取的期望回报值为$f(n, k)$，利用动态规划的思想容易列出方程

$$f(n, k) = \max ( \frac{k}{n}, \frac{f(n+1, k)+f(n+1, k+1)}{2})$$

但要解上面的方程可不是那么容易。事实上，它们的精确值还没有人知道。注意到由于一维随机游走的常返性，对任意的$n$和$k$都有$f(n,k)\geq 0.5$。利用这个边界条件可以求出一些近似解，我用下面的Matlab跑了一下：

N = 100000;
f = max(0, 0:1/N:1);
for n = N-1:-1:0
    f(1:n+1) = max((0:n)/n, (f(1:(n+1))+f(2:(n+2)))/2);
end

f = f(1);

将边界设为第100000枚硬币，算出来从最开始抛时的期望回报大约为0.79289。由于我的破计算机速度以及Matlab的效率问题，我这里很难再提高它的精确性，但这里有人将边界提高到了67108864，计算出来的结果为0.79295350640770。

如果只想知道该在什么时候停止呢？精确的规则也没人知道，Larry A. Shepp在论文Explicit solutions to some problems of optimal stopping中证明了抛的硬币次数$n$足够多时，应该等到正面数为$(0.83992\sqrt{n}+n)/2$时停止。

这个问题，和以前的最佳约会策略一样，都是说如何基于当前的已知信息做决策，是在现实生活中不断遇到的，比如在赌场赌博，到底赌到什么时候该收手，上面答案可做一点参考。

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总结一下

1、一个投资策略如果用过去一段时间的历史数据去模拟发现它能够持续战胜市场，这个证据足够证明它是一个好策略吗？一个基金经理过去一段时间表现很好，能证明他比别的经理要好吗？

答案是不能。因为有可能是该投资策略和基金经理的操作风格恰好符合过去一段时间的历史形势从而取得好成绩，如果不能在未来形势发生改变时修改其策略和风格，则可能导致重大亏损。书中举的例子是，某债券投资经理的操作风格是：当债券下跌时再次买入拉底平均成本，这种方法让他在98年之前持续战胜指数，但在98年的市场大跌中将之前赚得钱全亏掉了。

所以作者认为，评价一个东西好，必须在所有的“历史样本”空间里进行考虑，而不只是利用“真实历史样本”去衡量。可惜作者并没有详细说明如何产生更多的“历史样本”。而“历史”，比如股票价格并不完全是随机的，它不能简单用一个随机游走来刻画。

２、在短时间尺度内，对于投资组合的观测只能观测到其波动性，而不是报酬。如果你盯着资讯系统追看新闻，那部分新闻都只是噪声。所以应该看周刊里的深度报告而不是华尔街日报。

３、期望和条件期望：你现在63岁，中国的平均寿命是73岁，你预期还能活多少年？

肯定不是10年。否则你万一活到了83岁，你预期还能活多少年？

４、概率 vs 期望：如果要去估计投资组合，那么不光要预测赚钱的概率，还需要估计赚钱和亏钱的幅度。单独谈论赚钱的概率有多大没有意义。从概率分布的角度上来说，要考虑分布的偏度（Skewness）

5、癌症丛集：如果你在报纸上看到一则新闻说你居住的区域因为辐射较强（比如在高压线旁边），癌症病例比例比全市平均比例高20%，你怎么看？

事实上，即使癌症病例是随机分布的，在全市所有地区都均匀的概率微乎其微，事实上，总会有些地方它的病例比别的地方要多一些。

6、如果需要研究技术指标，其中一种方法是调整技术指标的参数，然后去历史数据去测试，从中选取最合适的参数，这样做合适吗？

这样做会陷入数据探索（data bootstrap）偏差，当你的技术指标足够复杂，可选参数足够多时，完全可能跟历史情况匹配很好的指标和参数，但并不意味着它可以用来预测未来。另一个相关的名词叫做过度拟合（over fitting）。

7、数据挖掘（data mining）偏差：平均365个人中有1人在1月1日生日的可能性，但只需要23个人，就能找到两个人在同一天生日。事实上，当考虑因子比较多的时候，要在其中找到匹配关系实在太容易了。

8、幸存者效应：你持续不断地受到股评短信，它向你推荐黑马股，令人惊讶地你发现它的连续十次推荐都命中了。你会相信它吗？

你有可能只是10万个短信接收者的幸存者而已，如果你真的按照它所说的去做的话，完全可能血本无亏。

9、absence of evidence和evidence of absence的区别：在癌症丛集的案例中，如果利用统计理论显示没有证据表明此区域的病例比例比平均比例要高（数字上的20%可能只是因为随机因素导致的），但这并没有直接否认此区域的病例比例比平均比例要高。

这本书谈到的数学概念是比较简单的，作者为了让文科生也能读懂，将数学概念嵌入到了故事里面，使得文章虽然有趣，但未免拖沓了点。书里花了不少篇幅谈论哲学问题，引用了不少哲学人物和观点，我除了关于波普尔的部分大致看了看，其它全跳过去了，因为不知道作者想表达什么意思。

© zhiqiang for 阅微堂, 2010. | 链接 | 3 条评论

以前提到过，理论计算机这门课会邀请一些正在这边访问的教授来讲课，由于是本科生，所以这些教授一般都是讲些有趣的东西，比如之前的overhang 堆积木 - 能伸出桌面多远？。今天这次课，来自Aarhus的Peter Bro Miltersen讲了一个很有趣的游戏问题。

现在有100个箱子，有一个学生，一张写着他的名字的名片被放在某个随机选择的箱子里面。现在这个学生可以检查不超过一半也就是50个箱子，希望能够把它的名字找出来。

很显然，这个学生没有什么好的方法，随机选择50个箱子打开，有一半的概率可以发现含有它的名字纸条的箱子。

OK，现在还是100个箱子，但是有100个学生，写着这些学生的名字的100张纸条随机放入100个箱子里(每个箱子恰好一张纸条)。现在每个学生可以检查不超过一半也就是50个箱子，每个学生希望能找到含有自己名字的箱子。如果在游戏中，所有学生都是独立的（他们不能互相讨论以及看到其他人的开箱结果），问所有学生都实现目标的概率有多大？

如果把每个学生的结果认为是独立的，那么成功的概率只有$2^{-100}$，但其实我们可以做的比这要好得多。事实上，让每个学生都找到含有自己名字的箱子的概率可以高达0.3。

假设学生的名字就是它的编号，从1到100。第$i$个箱子里的编号是$\pi(i)$。第$i$个学生这样做：先打开第$i$个箱子，再打开第$\pi(i)$个箱子，再打开第$\pi(\pi(i))$个箱子，以此继续下去，直到发现写着自己名字（也就是$i$）的纸条或者打开箱子数到达50个为止。

那么当且仅当在$i$到$\pi(i)$这个置换中含有长度超过50的圈时，有学生找不到含有自己名字的箱子。这个概率是$\sum_{j=51}^{100}1/j \sim \ln 2$（注意一个随机置换里含有一个长度为$j$的圈的概率为$1/j$）。

所以上面策略的成功概率为 $1-\ln 2 \sim 0.3$。

类似于以前提到的帽子游戏一以及帽子游戏二，我们要最大化一个团体都成功的概率，但是每个单个个体成功的概率又是一定的，那么我们只需要设计策略时，让大家要么几乎同时成功，要么几乎同时失败。就像上面的策略里，如果有人失败，意味着排列中有一个长度很大（大于n/2）的圈，这个圈上所有人同时也会失败，通过把失败的实例重合到一起，这样就提高了总体成功的概率。

上面这个问题不是孤立的，它可以应用在static data structure problems的下界证明上。对于后面这个问题，在最近是一个很热门的研究领域，但在这里写了也没人看，知道这个问题的也不需要看，所以我只提一下我们还可以做什么，下面是一个open problem，可以直接得出一个data structure问题的一个下界，是一个可以写学术论文的题目：

Open problem：假设现在有$2n$个箱子，$n$个学生，学生们的名字纸条被放入随机选中的$n$个箱子里。现在每个学生可以检查不超过一半也就是$n$个箱子，以找到含有自己名字的箱子。问这时候学生可以采取什么样的策略最大化所有学生都成功找到含有自己名字的箱子的概率。

期望结果：证明指数级小的下界或者找到常数概率的策略。

有兴趣的可以参考The cell probe complexity of succinct data structures.

© zhiqiang for 阅微堂, 2008. | 链接 | 15 条评论

所有大学生都应该学的两门课程，一是经济学，二是概率论，这两门课分表代表着一种生活中的思维方式。来测试一下你的概率论学得怎么样吧。题目作者: wzz12346@newsmth, 原发Mathematics@newsmth。解答亦来自wangzz。题目顺序和答案经过调整。

如果有题不会的话，就用你的直觉吧，看看最后你的直觉与真实的概率相差有多大。

解答颜色为白色，在每个题目下面，选中即可显示。

1. 在打桥牌的时候，如果你和对家共持有某门花色的9张牌，则剩余的4张牌怎样分布的概率最大   
         A.  2-2
         B.  3-1
         C.  4-0
   B. 可以简单计算得到这个结果。3-1的概率应该是50%。2-2的概率是37.5%。4-0的概率是12.5%。
    
2. 如果有3个门，有一个背后有大奖。你选中一个，主持人知道哪个门后面有奖，并且总会打开另外两个中的某个没奖的。现在你有一次换得机会，你应该
         A.  换
         B.  不换
         C.  换不换都一样
   A，三门问题，详细情况见三门问题及相关
   
   
3. 100个球随机的放在100个箱子里，最后空箱子的数量大约是
        A.  0-10
        B.  10-20
        C.  20-30
        D.  30-40
   D. 这个题可以用简单的概率论计算。结论是不管多少个球，c*n个球放到n个箱子里，最后空箱子的个数约为$n(1-1/n)^{cn}=ne^{-c}$，现在的情况是箱子数和球数一样多，那么就约为$100e^{-1}$.
    
4. 打10000副拱猪，总共持有9500-10500个A的概率大约在        
         A.  80%-90% 
         B.  90%-95% 
         C.  95%-99% 
         D.  99%以上
   D. 这个可以用中心极限定理计算。事实上这个题也不需要计算，只是要考察大家的一个感觉，实际上这个概率大于0.99...9，一共有9个9。不过有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。  
   
   
5. 台湾大选，假定马英九最终得到600000票，谢长廷得到400000票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为 
         A.  0.1 
         B.  0.2 
         C.  0.3 
         D.  0.4
   
6. 有以下几个国家，每个国家有自己的习俗。问哪个国家长期以后男人的比例最大  
         A.  每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男孩为止 
         B.  每个家庭不断的生孩子直到得到第一个女孩为止 
         C.  每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止 
         D.  以上几个国家最后男女比例基本一样
   D. 我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。用概率的方法可以得到不管哪个方法都是1:1。事实上，我们只是把一个很长的男女的序列按照不同的方式来截断。当然这个序列本上包含多少男女是不变的。我每次都愿意以另外一个例子来说明，那就是如果我们在网上下棋，可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或是有输有赢为止，显然不管怎样，因为你的实力是恒定的，你永远都是你本来应有的胜率。
    
7. 给一个1到100的排列，与原来位置相同的数字的个数的期望大约是 （如1到5的排列51324 与原来位置只有3是相同的）    
         A.  1
         B.  5
         C.  10
   A. 在第1个位置，这个排列的第1个数字为1的概率为1/100，而期望是可加的，所以总共与原来位置相同的数字的个数的期望应该是1。也就是说不管是多少的数字，平均恰好有一个数与顺序是相同的。 
    
8. 美国的25分硬币共有50种，上面有50个州的图案，如果我们每次得到的硬币是随机的，则期望大约收集多少可以收集全   
         A.  200
         B.  300
         C.  400
         D.  500
   A. 这是所谓的收集硬币问题。具体解法不是很容易。不过结论是要收集齐n种硬币，需要大约$\sum_{i=1}^n\frac{n}{i}=n\log n$个。
    
9. 假设有1000次100m短跑大赛，每次比赛的冠军成绩都在9.7-10之间均匀分布，问期望有多少次比赛打破了之前的纪录   
         A.  7
         B.  10
         C.  15
         D.  32
   A. 假设均匀分布,则最后n次比赛之后这n个成绩形成一个排列。第k次创纪录的概率是这个排列中第k个在前k-1个之前的概率，也即1/k，所以n次比赛大约有$1+1/2+1/3+...1/n=\log n$次破纪录。
    
10. 扔10000次硬币，其中最长一次连着正面的次数大约会是多少   
          A.  100
          B.  13
          C.  9
          D.  4
    B.这也是一个特殊的概率问题，叫做Head Runs。答案应该是$log_2^n$。大约为13。或者大于13是显然的，但不太可能有100。所以必定是选B。
     
11. 以下那件事情发生的期望时间最短   
          A.  在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次回到原点的时间
          B.  一只猴子，每秒种随便按键盘上的一个键，第一次打出"Beijing Welcomes You"的时间
          C.  在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次到达1的时间
    B. A和C两个事件发生的时间的期望都是+inf. 只有B是有限的。A和C说明了等概率的赌博不可能赢钱（如果C是有限的则参加赌大小的游戏总能赢钱了）。而B说明的是另外一条概率上的定理,"What always stands a reasonable chance of happening will almost surely happen, sooner rather than later",也就是说从任何时刻开始，总有一个固定的概率发生的事情(比如一个猴子打出beijing welcomes you, 这个概率可能是 1/26^20左右)，不过这个概率是多少，这件事情早晚能发生。
         
12. 如果一个物体在3维随机游动，也即每一刻他可以向左，右，上，下，前，后等概率的走，长久来看，则会发生什么情况   
          A.  此物体无穷多次回到原点
          B.  此物体无穷多次回到任何一条坐标轴上，但不会无穷多次回到原点
          C.  此物体不会无穷多次回到任何一条坐标轴上
    B. 1维和2维的随机游动是常返的，也就是说会无穷多次回到起点（但回来的平均时间期望是无穷的），而3维以上的随机游动是非常返的。因此对于2维德某改革坐标，此物体会无穷多次经过，但是不会无穷多次经过原点。对一个完全没有方向感的人，在平面上不会迷路，但在宇宙中是会迷路的。
      
13. 一支股票，初始价为1，每天的价值变化率独立同分布，且期望为0，不恒为0。则
          A.  股票在任何时刻期望价值为1
          B.  股票以概率1变成0
          C.  A和B都对
          D.  A和B都不对
    C. 也就是说对于很多投机的东西，平均值总是不变的，但是多数人都会倾家荡产。其实仔细想想很有道理，比如说你的股票第一天涨10%。第二天跌10%或是第一天跌10%，第二天涨10%，最后的结果都是跌了1%。所以要保持增长所需要的是远大于0的平均变化率，这个才是一般人难以做到的。
     
14. 如果一个群体里，每个个体以0.2的概率没有后代，0.6的概率有1个后代，0.2的概率有两个后代，则
          A.  这个群体最后会灭绝 
          B.  这个群体最后将稳定在一个分布，即种群大小在一定范围内震荡 
          C.  这个群体最后将爆炸，人口将到无穷 
          D.  不一定会发生什么
    A. 这是个简单的人口模型。这个可能直觉比较困难，但是这个实际上和上次的一道题是一样的。注意到每一代的期望总是1。因此根据上次的答案，这个群体最后会灭绝。对于这种模型，当每一代的期望小于等于1时，最后的结果都是会灭绝。对于期望大于1的情况，我们也可以很简单的通过解方程得到灭绝的概率。 
     
15. 当我们考虑一种可能重复发生的事件时，哪种方式更科学   
    A.  按照第一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质
          B.  按照最后一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质
          C.  以上都可以
          D.  以上都不可以
    A. 这个问题深一些的背景在于Kolmogorov向前向后微分方程。很多人知道向后微分方程更通用，但是并不知道原因。事实上，向后微分方程是基于A的方法对事件进行分解得到的，而向前微分方程是基于B的方法对事件进行分解的。但是有很多重复发生的事情会越发生越频繁，以致没有最后一次发生的事件。但是我们总能找到第一次发生的时间。所以A更科学。 
         
16. 实验室测试灯泡的寿命，在灯泡不断的换新灯泡。灯泡寿命约为1小时。考察10000小时时亮着的那个灯泡    
          A.  那个灯泡的寿命期望也约为1小时 
          B.  那个灯泡的寿命期望约为其他灯泡的2倍 
          C.  那个灯泡的期望寿命约为其他灯泡的1/2 
          D.  以上说法都不对  
    B. 这个题可能是稍难的。如果具体的算需要一点本科高年级的知识。不过我们仍然可以从直觉得到结果。事实上，当每个灯泡或是我们观测的事物的生命是随机的时候。在时间足够久以后的一点，那个事物的寿命要长于这个事物本身平均的寿命。因为正是因为它寿命长导致我们容易观测到。简单的说，如果灯泡有两种，一种只能坚持1小时，一种能坚持100小时，那我们在后面观测到的99%都可能是100小时那个。所以观测到的平均寿命较长。通常我们认为灯泡的寿命是指数分布的，在这个情况下，答案是2倍。对于一般的分布，甚至有可能平均寿命有限，而观测的那个寿命期望是无限的。这个问题在美国一次监狱调查中被发现，即被调查的囚犯的平均判刑年数要远大于全美平均判刑的年数

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