现在有100个箱子，有一个学生，一张写着他的名字的名片被放在某个随机选择的箱子里面。现在这个学生可以检查不超过一半也就是50个箱子，希望能够把它的名字找出来。

很显然，这个学生没有什么好的方法，随机选择50个箱子打开，有一半的概率可以发现含有它的名字纸条的箱子。

OK，现在还是100个箱子，但是有100个学生，写着这些学生的名字的100张纸条随机放入100个箱子里(每个箱子恰好一张纸条)。现在每个学生可以检查不超过一半也就是50个箱子，每个学生希望能找到含有自己名字的箱子。如果在游戏中，所有学生都是独立的（他们不能互相讨论以及看到其他人的开箱结果），问所有学生都实现目标的概率有多大？

如果把每个学生的结果认为是独立的，那么成功的概率只有，但其实我们可以做的比这要好得多。事实上，让每个学生都找到含有自己名字的箱子的概率可以高达0.3。

假设学生的名字就是它的编号，从1到100。第个箱子里的编号是。第个学生这样做：先打开第个箱子，再打开第个箱子，再打开第个箱子，以此继续下去，直到发现写着自己名字（也就是）的纸条或者打开箱子数到达50个为止。

那么当且仅当在到这个置换中含有长度超过50的圈时，有学生找不到含有自己名字的箱子。这个概率是（注意一个随机置换里含有一个长度为的圈的概率为）。

所以上面策略的成功概率为 。

类似于以前提到的帽子游戏一以及帽子游戏二，我们要最大化一个团体都成功的概率，但是每个单个个体成功的概率又是一定的，那么我们只需要设计策略时，让大家要么几乎同时成功，要么几乎同时失败。就像上面的策略里，如果有人失败，意味着排列中有一个长度很大（大于n/2）的圈，这个圈上所有人同时也会失败，通过把失败的实例重合到一起，这样就提高了总体成功的概率。

上面这个问题不是孤立的，它可以应用在static data structure problems的下界证明上。对于后面这个问题，在最近是一个很热门的研究领域，但在这里写了也没人看，知道这个问题的也不需要看，所以我只提一下我们还可以做什么，下面是一个open problem，可以直接得出一个data structure问题的一个下界，是一个可以写学术论文的题目：

Open problem：假设现在有个箱子，个学生，学生们的名字纸条被放入随机选中的个箱子里。现在每个学生可以检查不超过一半也就是个箱子，以找到含有自己名字的箱子。问这时候学生可以采取什么样的策略最大化所有学生都成功找到含有自己名字的箱子的概率。

期望结果：证明指数级小的下界或者找到常数概率的策略。

有兴趣的可以参考The cell probe complexity of succinct data structures.

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如果有题不会的话，就用你的直觉吧，看看最后你的直觉与真实的概率相差有多大。

解答颜色为白色，在每个题目下面，选中即可显示。

1. 在打桥牌的时候，如果你和对家共持有某门花色的9张牌，则剩余的4张牌怎样分布的概率最大   
         A.  2-2
         B.  3-1
         C.  4-0
   B. 可以简单计算得到这个结果。3-1的概率应该是50%。2-2的概率是37.5%。4-0的概率是12.5%。
    
2. 如果有3个门，有一个背后有大奖。你选中一个，主持人知道哪个门后面有奖，并且总会打开另外两个中的某个没奖的。现在你有一次换得机会，你应该
         A.  换
         B.  不换
         C.  换不换都一样
   A，三门问题，详细情况见三门问题及相关
   
   
3. 100个球随机的放在100个箱子里，最后空箱子的数量大约是
        A.  0-10
        B.  10-20
        C.  20-30
        D.  30-40
   D. 这个题可以用简单的概率论计算。结论是不管多少个球，c*n个球放到n个箱子里，最后空箱子的个数约为，现在的情况是箱子数和球数一样多，那么就约为.
    
4. 打10000副拱猪，总共持有9500-10500个A的概率大约在        
         A.  80%-90% 
         B.  90%-95% 
         C.  95%-99% 
         D.  99%以上
   D. 这个可以用中心极限定理计算。事实上这个题也不需要计算，只是要考察大家的一个感觉，实际上这个概率大于0.99...9，一共有9个9。不过有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。  
   
   
5. 台湾大选，假定马英九最终得到600000票，谢长廷得到400000票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为 
         A.  0.1 
         B.  0.2 
         C.  0.3 
         D.  0.4
   
6. 有以下几个国家，每个国家有自己的习俗。问哪个国家长期以后男人的比例最大  
         A.  每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男孩为止 
         B.  每个家庭不断的生孩子直到得到第一个女孩为止 
         C.  每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止 
         D.  以上几个国家最后男女比例基本一样
   D. 我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。用概率的方法可以得到不管哪个方法都是1:1。事实上，我们只是把一个很长的男女的序列按照不同的方式来截断。当然这个序列本上包含多少男女是不变的。我每次都愿意以另外一个例子来说明，那就是如果我们在网上下棋，可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或是有输有赢为止，显然不管怎样，因为你的实力是恒定的，你永远都是你本来应有的胜率。
    
7. 给一个1到100的排列，与原来位置相同的数字的个数的期望大约是 （如1到5的排列51324 与原来位置只有3是相同的）    
         A.  1
         B.  5
         C.  10
   A. 在第1个位置，这个排列的第1个数字为1的概率为1/100，而期望是可加的，所以总共与原来位置相同的数字的个数的期望应该是1。也就是说不管是多少的数字，平均恰好有一个数与顺序是相同的。 
    
8. 美国的25分硬币共有50种，上面有50个州的图案，如果我们每次得到的硬币是随机的，则期望大约收集多少可以收集全   
         A.  200
         B.  300
         C.  400
         D.  500
   A. 这是所谓的收集硬币问题。具体解法不是很容易。不过结论是要收集齐n种硬币，需要大约个。
    
9. 假设有1000次100m短跑大赛，每次比赛的冠军成绩都在9.7-10之间均匀分布，问期望有多少次比赛打破了之前的纪录   
         A.  7
         B.  10
         C.  15
         D.  32
   A. 假设均匀分布,则最后n次比赛之后这n个成绩形成一个排列。第k次创纪录的概率是这个排列中第k个在前k-1个之前的概率，也即1/k，所以n次比赛大约有次破纪录。
    
10. 扔10000次硬币，其中最长一次连着正面的次数大约会是多少   
          A.  100
          B.  13
          C.  9
          D.  4
    B.这也是一个特殊的概率问题，叫做Head Runs。答案应该是。大约为13。或者大于13是显然的，但不太可能有100。所以必定是选B。
     
11. 以下那件事情发生的期望时间最短   
          A.  在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次回到原点的时间
          B.  一只猴子，每秒种随便按键盘上的一个键，第一次打出"Beijing Welcomes You"的时间
          C.  在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次到达1的时间
    B. A和C两个事件发生的时间的期望都是+inf. 只有B是有限的。A和C说明了等概率的赌博不可能赢钱（如果C是有限的则参加赌大小的游戏总能赢钱了）。而B说明的是另外一条概率上的定理,"What always stands a reasonable chance of happening will almost surely happen, sooner rather than later",也就是说从任何时刻开始，总有一个固定的概率发生的事情(比如一个猴子打出beijing welcomes you, 这个概率可能是 1/26^20左右)，不过这个概率是多少，这件事情早晚能发生。
         
12. 如果一个物体在3维随机游动，也即每一刻他可以向左，右，上，下，前，后等概率的走，长久来看，则会发生什么情况   
          A.  此物体无穷多次回到原点
          B.  此物体无穷多次回到任何一条坐标轴上，但不会无穷多次回到原点
          C.  此物体不会无穷多次回到任何一条坐标轴上
    B. 1维和2维的随机游动是常返的，也就是说会无穷多次回到起点（但回来的平均时间期望是无穷的），而3维以上的随机游动是非常返的。因此对于2维德某改革坐标，此物体会无穷多次经过，但是不会无穷多次经过原点。对一个完全没有方向感的人，在平面上不会迷路，但在宇宙中是会迷路的。
      
13. 一支股票，初始价为1，每天的价值变化率独立同分布，且期望为0，不恒为0。则
          A.  股票在任何时刻期望价值为1
          B.  股票以概率1变成0
          C.  A和B都对
          D.  A和B都不对
    C. 也就是说对于很多投机的东西，平均值总是不变的，但是多数人都会倾家荡产。其实仔细想想很有道理，比如说你的股票第一天涨10%。第二天跌10%或是第一天跌10%，第二天涨10%，最后的结果都是跌了1%。所以要保持增长所需要的是远大于0的平均变化率，这个才是一般人难以做到的。
     
14. 如果一个群体里，每个个体以0.2的概率没有后代，0.6的概率有1个后代，0.2的概率有两个后代，则
          A.  这个群体最后会灭绝 
          B.  这个群体最后将稳定在一个分布，即种群大小在一定范围内震荡 
          C.  这个群体最后将爆炸，人口将到无穷 
          D.  不一定会发生什么
    A. 这是个简单的人口模型。这个可能直觉比较困难，但是这个实际上和上次的一道题是一样的。注意到每一代的期望总是1。因此根据上次的答案，这个群体最后会灭绝。对于这种模型，当每一代的期望小于等于1时，最后的结果都是会灭绝。对于期望大于1的情况，我们也可以很简单的通过解方程得到灭绝的概率。 
     
15. 当我们考虑一种可能重复发生的事件时，哪种方式更科学   
    A.  按照第一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质
          B.  按照最后一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质
          C.  以上都可以
          D.  以上都不可以
    A. 这个问题深一些的背景在于Kolmogorov向前向后微分方程。很多人知道向后微分方程更通用，但是并不知道原因。事实上，向后微分方程是基于A的方法对事件进行分解得到的，而向前微分方程是基于B的方法对事件进行分解的。但是有很多重复发生的事情会越发生越频繁，以致没有最后一次发生的事件。但是我们总能找到第一次发生的时间。所以A更科学。 
         
16. 实验室测试灯泡的寿命，在灯泡不断的换新灯泡。灯泡寿命约为1小时。考察10000小时时亮着的那个灯泡    
          A.  那个灯泡的寿命期望也约为1小时 
          B.  那个灯泡的寿命期望约为其他灯泡的2倍 
          C.  那个灯泡的期望寿命约为其他灯泡的1/2 
          D.  以上说法都不对  
    B. 这个题可能是稍难的。如果具体的算需要一点本科高年级的知识。不过我们仍然可以从直觉得到结果。事实上，当每个灯泡或是我们观测的事物的生命是随机的时候。在时间足够久以后的一点，那个事物的寿命要长于这个事物本身平均的寿命。因为正是因为它寿命长导致我们容易观测到。简单的说，如果灯泡有两种，一种只能坚持1小时，一种能坚持100小时，那我们在后面观测到的99%都可能是100小时那个。所以观测到的平均寿命较长。通常我们认为灯泡的寿命是指数分布的，在这个情况下，答案是2倍。对于一般的分布，甚至有可能平均寿命有限，而观测的那个寿命期望是无限的。这个问题在美国一次监狱调查中被发现，即被调查的囚犯的平均判刑年数要远大于全美平均判刑的年数

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三门问题，亦称为蒙特霍问题（英文：Monty Hall problem），最初的表述形式：

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

很老的问题了，不过在任何时候都能引起激烈的争论，更神奇的是无论直觉派，概率派等都认为自己的答案有道理。维特根斯坦认为世界上多数问题归根结底都是语言问题。三门问题的争论其实也是语义上的。正确答案应该是

1. 如果主持人事先知道哪个门里有山羊并且他特意选择了有山羊的门打开了，那么参赛者应该换另一扇门，这可以将他胜利的概率从1/3升到2/3。
2. 如果主持人事先不知道哪个门里有山羊或者他只是随机的选择了一个门，但事实发现里面恰好是山羊。这时候参赛者没有换门的必要，胜利概率总是1/2。

简单的证明（如果对概率论一点都不了解得话可以直接枚举进行计数）：

我们需要计算P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门)。以下说明在第一种情况这个概率为1/3；在第一种情况下这个概率为1/2。如果参赛者没有选中汽车门，另一扇门必定是汽车门，所以换门后包含汽车的概率分别为2/3和1/2。

P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车，主持人打开了一个山羊门)/P(主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车门)P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)/P(主持人打开了一个山羊门)             .................(*)

而P(参赛者选中了汽车门) = 1/3。在参赛者选中了汽车门时，主持人打开的必定是山羊门，所以P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)=1。

问题的关键是P(主持人打开了一个山羊门)。在第一种情况下，主持人每次都有意的打开了山羊们，所以此时P(主持人打开了一个山羊门)=1；在第二种情况下，主持人随机选择了一个门，虽然他是在参赛者选择的门之外选择的，但不难知道这个概率为P(主持人打开了一个山羊门)=2/3。

将上面数据代入(*)即得出结论。

上面答案中的假设条件并没有在问题中明确指出，从而导致这个问题的巨大争议。所以最后的问题“官方”表述将问题严格确定下来(来源：三门问题@wikipedia)：

• 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
• 主持人知道每扇门后面有什么。
• 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
• 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
  • 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
  • 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
• 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

这时候问题被限制在答案的第一种情况，这时候参赛者总是应该选择换一个门。

要正确理解三门问题，可以再看两个三门问题的翻版：

女孩的概率

1. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。那么，两个都是女孩的概率是多少？

答：三分之一。

因为生两个孩子的可能性有四种等可能：BB、GG、BG、GB（即男男、女女、男女、女男）。 因为我们已知至少有一个女儿，所以BB是不可能的。因此GG是可能出现的三个等可能的结果之一，所以两个孩子都是女儿的概率为三分之一。

这对应了三门问题的第一种情况。

2. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。第二天，你看见她带了一个小女孩。你问她，这是你女儿吗？她说，是。她的两个孩子都是女孩的概率是多少？

答：二分之一。

这似乎非常奇怪，因为我们所拥有的信息看起来并不比第一种情况时多，但概率却不同。但是这里的问题其实是，那个你没见过的孩子是女孩的概率是多少？这个概率和生女孩的概率相同，二分之一。

这对应了三门问题的第二种情况。当然这里也有语言问题，必须假定这位母亲不是特定带出一个小女孩来给你看的。也就是说你只是碰巧发现了它是位小女孩。

你得到的答案依赖于所讲的故事；它依赖于你是如何得知至少一个孩子是女孩的。

三囚犯问题

亚当、比尔和查尔斯被关在一个监狱里，只有监狱看守知道谁会被判死刑，另外两位将会获释。有1／3的概率会被处死刑的亚当，给他母亲写了一封信，想要获释的比尔或查尔斯帮忙代寄。当亚当问看守他应当把他的信交给比尔还是查尔斯时，这位富有同情心的看守很为难。他认为如果他把将要获释的人的名字告诉亚当，那么亚当就会有1／2的概率被判死刑，因为剩下的人和亚当这两人中一定有一个人被处死。如果他隐瞒这信息，亚当被处死的概率是1／3。既然亚当知道其他两人中必有一人会获释，那么亚当自己被处死的概率怎么可能会因为看守告诉他其他两人中被获释者的姓名后而改变呢？ 

正确的答案是：看守不用当心，因为即使把获释人的姓名告诉亚当，亚当被处死的概率仍然是1／3，没有改变。但是，剩下的那位没被点名的人就有2／3的概率被处死（被处死的可能性升高了）。

这位看守显然很有趣。对他来说，这三个人死不死的概率是不变的：1、0、0。有一个必死，两个必活。

我们旁观者认为亚当会死的概率是1/3,那是因为监狱里有3个人，会死1个。现在看守说出一个名字后，我们旁观的人知道是2个里面死1个，亚当在内，则亚当会死的概率上升到1/2。凭什么说在旁观者看来，亚当会死的概率不上升？

以上两问题均出自《随机性》，美国 Bennett D.J.著，吉林人民出版社，2001年。

© zhiqiang for 阅微堂, 2008. | 链接 | 28 条评论

他的论文在这里：Mafia : A Theoretical Study Of Players and Coalitions in a Partial Information Environment。

不过很可惜的是，国外和国内的游戏规则差别太大，比如他们玩游戏的时候每个人死了之后身份便会公开，这样便使得游戏的模型化成为可能，否则数学对对我们玩的个人心理站可无能为力。

在没有警察的游戏中，规则比较简单，有一个结论是杀手的数量应该是量级的，大概是时，游戏才会平衡，其中C是平民数...不过这都要是C比较大的时候，否则怎么叫作"理论分析"呢

但当有警察的时候，哪怕只有一个，杀手数需要和平民保持线形的关系，游戏才会平衡。

休息时间：来大斗智力吧，你选哪边？

© zhiqiang for 阅微堂, 2007. | 链接 | 44 条评论

原文（英文）直接到这里看吧，27floors给出了中文翻译 。这里转几个跟概率有关的：

1. 一个国家人们只想要男孩，每个家庭都会一直要孩子，只到他们得到一个男孩。如果生的是女孩，他们就会再生一个。如果生了男孩，就不再生了。那么，这个国家里男女比例如何？

最严格的方法是直接计算男孩和女孩数量的期望，都是1，所以男女比例平衡。另一种说法是每个孩子的概率都是1：1，所以总的来看，最终的比例也将是1:1。这种说法可以用概率里面的"停时"的概念严格化，其实也不简单。比如，如果每个家庭一直要孩子，直到男孩比女孩数多一个，这时候如何分析？

停时：称为独立同分布随机变量的停时，若与独立。

停时定理：

"停时"是一个很深刻的概念，也非常有用。比如如果题目改成“如果每个家庭一直都要孩子，直到男孩比女孩数多一个，或者生到了100个小孩(是不是有点太多了)为止”，这时候如果直接算期望可不是一件容易的事情，但用停时定理一步就能得出结果。

2. 在一条高速公路上，在30分钟内看到一辆汽车的可能性是0.95，那么在10分钟内看到一辆车的概率是多少（假设过车的概率是恒定的）？

这个题目我觉得是所有题目里面最有意思的一个（海岛分金更有意思，但2old）。会做得举手...

只需注意一个事实：下一辆车来的时间和已经等待多久无关（等公交车不算）。这种概率分布称为Poisson分布...记事件A:0-10分钟无车，B:10-20分钟无车，C:20-30分钟无车，则A,B,C互相独立，而，所以...

3. 你和朋友去参加一个晚会，带你和朋友在内，共有10人。你的朋友和你打赌，你找到一位和你同一天生日的，你就得到1美元，他找到的任何一个和你生日不同的人，他得到2美元。你会打这个赌吗？

这里似乎有些问题，原以为是翻译错误，但读原文才发现，原文就不清楚。不知道是不是想考"生日悖论"(birthday paradox)，关于存在两个人同一天生日的概率。

另外提一下下，我在阅微客栈里发过很多算法的面试题。

© zhiqiang for 阅微堂, 2007. | 链接 | 15 条评论