最有名的关于换还是不换的问题是三门问题，已经被研究得比较透彻。这里想说的是另外一个悖论。

换还是不换(一)

我以前提到过这个问题。

假设你碰到一个精灵。精灵拿出两个钱袋，并告诉你其中一个钱袋的钱数是另外一个钱袋的两倍。

你随机挑选了一个钱袋，发现其中有$x$块钱。接下来，精灵给你一个换钱袋的机会。你会想，另外一个钱袋的钱要么是$\frac{x}{2}$块钱，要么是$2x$块钱，平均看是$\frac12\frac{x}{2}+\frac122x = \frac{5x}{4}$块钱。显然，换成另外一个钱袋会更划算一些。

但问题是，如果你一开始就选择了另外一个钱袋，你会使用一样的逻辑，发现换成现在这个钱袋更划算一些。问题出在哪里呢？

我之前给出的解释是：假设$P(a)$为两个钱袋的钱为$a$和$2a$的概率。那么上面推理中，另外一个钱袋的期望钱数是$\frac12\frac{x}{2}+\frac122x = \frac{5x}{4}$，当且经当$P(x)=P(2x)$。而对任意$x$都满足该式的概率分布并不存在，否则选择一个$a$使得$P(a)\neq 0$，则

$$1\geq P(a)+P(2a)+P(4a)+\cdots = P(a)\times\infty = \infty$$

矛盾。

换还是不换(二)

我以前以为，上面这个问题已经被彻底解决。但最近阅读的《蚁迹寻踪及其他数学探索》提到了一个类似的问题，这个问题说明上面的答案还不是问题的本质。

假设这次换了一个精灵，这个精灵给的两个钱袋，其中一个钱袋钱数是另外一个钱袋的三倍。并且，精灵按照确定的概率分布来放钱，其中钱较多的钱袋钱数为$3^k$的概率恰好是$2^{-k}$，其中$k=1,2,3,\cdots$。

同样，你选择了一个钱袋，然后精灵给了你一个选择换另外一个钱袋。如果你拿到的钱袋里只有1块钱，另外一个钱袋里肯定是3块钱，你必然会选择换成另外一个钱袋。假设你的钱袋里有$x$块钱，且$x>1$。那么根据精灵放钱的概率分布，另外一个钱袋有$\frac23$的概率为$\frac{x}{3}$，有$\frac13$的概率为$3x$，也就是说，期望值是$\frac{11x}{9}$。

这样，你会发现，无论如何，你都应该换成另外一个钱袋。

但问题是，如果你一开始就选择了另外一个钱袋，你会使用一样的逻辑，发现换成现在这个钱袋更划算一些。问题出在哪里呢？

【悲剧了，原来我以前就写到过这个问题，而且写得更清楚，见双信封悖论和围城效应。】

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今天一个朋友向我提起他参与北京买车摇号，他自己和周围十来人都没有摇中的事情，我关注了一下摇号的一些数据。

目前为止已经有四期摇号，第一期到第四期参与摇号的人数分别为187420、292280、397543、476861，每期摇中17600个号【数据来源】。

1

假设在未来各轮中参与人数不变，稳定在50万人左右。那么平均看，一个申请者可以在28个月摇中，如果家庭里夫妻双方都参与摇号，预期中奖时间为14个月。

注意，这个预期中奖时间并不是说能保证你在28个月内一定会摇中，而是说平均看，会需要28个月，有些人低于28个月，有些人长于28个月。

2

从过去四期的数据上看，每期申请者人数上次较快。先考虑一个虚拟的数学问题，如果每期申请人数增加5万，效果怎么样？

事实上，当每期申请人数增加的量超过中奖数量时，预期中奖时间达到无穷大。

3

上面的假设不能应用到实际中，因为申请人数不可能永远增长下去。假设北京市的总申请人数封底100万，即每个月申请人数新增5万，但增到100万就不继续增加。

此时，一个申请者的摇中所需的平均期数为54个月，大约4年半。如果家庭两夫妻都参与摇号，可以将这个时间缩短到25个月。

4

最终结论：要想摇到号，不如坐等下一次经济危机来的快，到时不但可以买车，买房贷款利率还能打七折。

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最近看到一个有趣的问题：

我们可以连续抛一枚均匀的硬币，并且随时可停下，在停下后可获得的回报为（正面出现次数/抛硬币的次数）。如果希望获得的回报越大越好，我们应该采取什么样的停止策略？

在第一次抛硬币时，如果出现正面时立即停止，此时获得一个最大的回报1，如果出现反面，则应该选择继续抛。假设前$n$次抛硬币出现了$k$次正面时最后能获取的期望回报值为$f(n, k)$，利用动态规划的思想容易列出方程

$$f(n, k) = \max ( \frac{k}{n}, \frac{f(n+1, k)+f(n+1, k+1)}{2})$$

但要解上面的方程可不是那么容易。事实上，它们的精确值还没有人知道。注意到由于一维随机游走的常返性，对任意的$n$和$k$都有$f(n,k)\geq 0.5$。利用这个边界条件可以求出一些近似解，我用下面的Matlab跑了一下：

N = 100000;
f = max(0, 0:1/N:1);
for n = N-1:-1:0
    f(1:n+1) = max((0:n)/n, (f(1:(n+1))+f(2:(n+2)))/2);
end

f = f(1);

将边界设为第100000枚硬币，算出来从最开始抛时的期望回报大约为0.79289。由于我的破计算机速度以及Matlab的效率问题，我这里很难再提高它的精确性，但这里有人将边界提高到了67108864，计算出来的结果为0.79295350640770。

如果只想知道该在什么时候停止呢？精确的规则也没人知道，Larry A. Shepp在论文Explicit solutions to some problems of optimal stopping中证明了抛的硬币次数$n$足够多时，应该等到正面数为$(0.83992\sqrt{n}+n)/2$时停止。

这个问题，和以前的最佳约会策略一样，都是说如何基于当前的已知信息做决策，是在现实生活中不断遇到的，比如在赌场赌博，到底赌到什么时候该收手，上面答案可做一点参考。

© zhiqiang for 阅微堂, 2010. | 链接 | 11 条评论

总结一下

1、一个投资策略如果用过去一段时间的历史数据去模拟发现它能够持续战胜市场，这个证据足够证明它是一个好策略吗？一个基金经理过去一段时间表现很好，能证明他比别的经理要好吗？

答案是不能。因为有可能是该投资策略和基金经理的操作风格恰好符合过去一段时间的历史形势从而取得好成绩，如果不能在未来形势发生改变时修改其策略和风格，则可能导致重大亏损。书中举的例子是，某债券投资经理的操作风格是：当债券下跌时再次买入拉底平均成本，这种方法让他在98年之前持续战胜指数，但在98年的市场大跌中将之前赚得钱全亏掉了。

所以作者认为，评价一个东西好，必须在所有的“历史样本”空间里进行考虑，而不只是利用“真实历史样本”去衡量。可惜作者并没有详细说明如何产生更多的“历史样本”。而“历史”，比如股票价格并不完全是随机的，它不能简单用一个随机游走来刻画。

２、在短时间尺度内，对于投资组合的观测只能观测到其波动性，而不是报酬。如果你盯着资讯系统追看新闻，那部分新闻都只是噪声。所以应该看周刊里的深度报告而不是华尔街日报。

３、期望和条件期望：你现在63岁，中国的平均寿命是73岁，你预期还能活多少年？

肯定不是10年。否则你万一活到了83岁，你预期还能活多少年？

４、概率 vs 期望：如果要去估计投资组合，那么不光要预测赚钱的概率，还需要估计赚钱和亏钱的幅度。单独谈论赚钱的概率有多大没有意义。从概率分布的角度上来说，要考虑分布的偏度（Skewness）

5、癌症丛集：如果你在报纸上看到一则新闻说你居住的区域因为辐射较强（比如在高压线旁边），癌症病例比例比全市平均比例高20%，你怎么看？

事实上，即使癌症病例是随机分布的，在全市所有地区都均匀的概率微乎其微，事实上，总会有些地方它的病例比别的地方要多一些。

6、如果需要研究技术指标，其中一种方法是调整技术指标的参数，然后去历史数据去测试，从中选取最合适的参数，这样做合适吗？

这样做会陷入数据探索（data bootstrap）偏差，当你的技术指标足够复杂，可选参数足够多时，完全可能跟历史情况匹配很好的指标和参数，但并不意味着它可以用来预测未来。另一个相关的名词叫做过度拟合（over fitting）。

7、数据挖掘（data mining）偏差：平均365个人中有1人在1月1日生日的可能性，但只需要23个人，就能找到两个人在同一天生日。事实上，当考虑因子比较多的时候，要在其中找到匹配关系实在太容易了。

8、幸存者效应：你持续不断地受到股评短信，它向你推荐黑马股，令人惊讶地你发现它的连续十次推荐都命中了。你会相信它吗？

你有可能只是10万个短信接收者的幸存者而已，如果你真的按照它所说的去做的话，完全可能血本无亏。

9、absence of evidence和evidence of absence的区别：在癌症丛集的案例中，如果利用统计理论显示没有证据表明此区域的病例比例比平均比例要高（数字上的20%可能只是因为随机因素导致的），但这并没有直接否认此区域的病例比例比平均比例要高。

这本书谈到的数学概念是比较简单的，作者为了让文科生也能读懂，将数学概念嵌入到了故事里面，使得文章虽然有趣，但未免拖沓了点。书里花了不少篇幅谈论哲学问题，引用了不少哲学人物和观点，我除了关于波普尔的部分大致看了看，其它全跳过去了，因为不知道作者想表达什么意思。

© zhiqiang for 阅微堂, 2010. | 链接 | 3 条评论

以前提到过，理论计算机这门课会邀请一些正在这边访问的教授来讲课，由于是本科生，所以这些教授一般都是讲些有趣的东西，比如之前的overhang 堆积木 - 能伸出桌面多远？。今天这次课，来自Aarhus的Peter Bro Miltersen讲了一个很有趣的游戏问题。

现在有100个箱子，有一个学生，一张写着他的名字的名片被放在某个随机选择的箱子里面。现在这个学生可以检查不超过一半也就是50个箱子，希望能够把它的名字找出来。

很显然，这个学生没有什么好的方法，随机选择50个箱子打开，有一半的概率可以发现含有它的名字纸条的箱子。

OK，现在还是100个箱子，但是有100个学生，写着这些学生的名字的100张纸条随机放入100个箱子里(每个箱子恰好一张纸条)。现在每个学生可以检查不超过一半也就是50个箱子，每个学生希望能找到含有自己名字的箱子。如果在游戏中，所有学生都是独立的（他们不能互相讨论以及看到其他人的开箱结果），问所有学生都实现目标的概率有多大？

如果把每个学生的结果认为是独立的，那么成功的概率只有$2^{-100}$，但其实我们可以做的比这要好得多。事实上，让每个学生都找到含有自己名字的箱子的概率可以高达0.3。

假设学生的名字就是它的编号，从1到100。第$i$个箱子里的编号是$\pi(i)$。第$i$个学生这样做：先打开第$i$个箱子，再打开第$\pi(i)$个箱子，再打开第$\pi(\pi(i))$个箱子，以此继续下去，直到发现写着自己名字（也就是$i$）的纸条或者打开箱子数到达50个为止。

那么当且仅当在$i$到$\pi(i)$这个置换中含有长度超过50的圈时，有学生找不到含有自己名字的箱子。这个概率是$\sum_{j=51}^{100}1/j \sim \ln 2$（注意一个随机置换里含有一个长度为$j$的圈的概率为$1/j$）。

所以上面策略的成功概率为 $1-\ln 2 \sim 0.3$。

类似于以前提到的帽子游戏一以及帽子游戏二，我们要最大化一个团体都成功的概率，但是每个单个个体成功的概率又是一定的，那么我们只需要设计策略时，让大家要么几乎同时成功，要么几乎同时失败。就像上面的策略里，如果有人失败，意味着排列中有一个长度很大（大于n/2）的圈，这个圈上所有人同时也会失败，通过把失败的实例重合到一起，这样就提高了总体成功的概率。

上面这个问题不是孤立的，它可以应用在static data structure problems的下界证明上。对于后面这个问题，在最近是一个很热门的研究领域，但在这里写了也没人看，知道这个问题的也不需要看，所以我只提一下我们还可以做什么，下面是一个open problem，可以直接得出一个data structure问题的一个下界，是一个可以写学术论文的题目：

Open problem：假设现在有$2n$个箱子，$n$个学生，学生们的名字纸条被放入随机选中的$n$个箱子里。现在每个学生可以检查不超过一半也就是$n$个箱子，以找到含有自己名字的箱子。问这时候学生可以采取什么样的策略最大化所有学生都成功找到含有自己名字的箱子的概率。

期望结果：证明指数级小的下界或者找到常数概率的策略。

有兴趣的可以参考The cell probe complexity of succinct data structures.

© zhiqiang for 阅微堂, 2008. | 链接 | 15 条评论