阅微堂 » 洗牌 http://zhiqiang.org/blog zhiqiang's personal blog Tue, 22 Jun 2010 13:08:44 +0000 http://wordpress.org/?v=2.9.1 en hourly 1 魔方里的数学 http://zhiqiang.org/blog/science/mathmatics-in-rubik-cube-and-algorithm.html http://zhiqiang.org/blog/science/mathmatics-in-rubik-cube-and-algorithm.html#comments Wed, 26 Sep 2007 12:26:48 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/posts/mathmatics-in-rubik-cube-and-algorithm-2.html 魔方今天香港中文大学的Prof. Cai给我们上graph algorithm。第一节课上教我们玩魔方，先给每人发了一个。我喜欢这样的教学方法 :) 。

魔方的解法，在网上已经有无数了，基本上的思路都是几个定式，玩的时候记住这些定式即可。课上Cai给我们演示了一个他自创的定式，很可惜，我目前为止只学会弄出一面来。

OK，这篇文章的主要目的是讲魔方里的数学，对魔方的群结构研究网上也已经有很多，这里不谈了。魔方总共有(8! × 38−1) × (12! × 212−1)/2 = 43252003274489856000=4.3× 1019个不同的状态。每个状态看作图上的一个点，则解魔方问题可以视作求一个超大图上的路径问题。这个图是如此之大，使得看上去求最短路这么简单的问题都变得非常困难，事实上，用计算机也不可能直接算。

虽然这个图是如此之大，而且边很少（每个顶点只引出12条边），但这个图的直径却非常小。可以证明，任何一种魔方的状态，都可以在26步之内复原。（见Optimal solutions for Rubik's Cube)

这样的图与以前提到过的洗牌模型里面的图非常相似，结构简单，定点巨多，但混合速度却特别快（从一点会以非常快的速度达到其它点），做算法的很喜欢这种图。

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但就D. Aldous和P. Diaconis在1992的一个结果，要想达到“比较完美”的洗牌效果——洗完牌后牌局基本上随机分布，至少需要5次，要达到“完美”洗牌，则需要7次。但更多次数不会有太多改进。这还是对于一副牌而言的。对于两副牌则需要9次，6副牌需要洗12次。

所用方法是计算图上随机游走达到稳定分布的速度。而这个方法就应用于上面这个结果之后，对于理论计算机的概率算法产生了深远的影响，这也使得P.Diaconis的这篇论文超出了它本身看似玩物的领域。

再谈一下P. Diaconis，此君14岁离家，去做职业魔术师，没上高中，后来用白天魔术表演挣来的钱晚上念大学课程，最后获得哈佛的博士和斯坦福的教职。另传说中，此人赌技惊人，是赌场不受欢迎之人物。

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