英文是communication complexity，不知道该翻译成通信复杂性，还是通讯复杂性呢。这里先用通讯复杂性吧。这是一个理论计算机的子领域，在过去30年衍生了很多东西。它是我的研究的主要内容，这里简略介绍一下。

Communication Protocol 通讯协议

我们说一个通讯问题，是有两台机器Alice和Bob，它们需要计算某个函数 $f(x,y)$。但是Alice只知道输入$x$，Bob只知道$y$。它们之间离得很远，需要通过光缆互相传递信息，把$f(x,y)$计算出来。它们之间传递信息的过程称为通讯，一个有效的通讯过程称为一个协议。

举一个例子，比如两个数据中心，它们想知道它们的数据是否已经同步(指数据完全一样)，如果不一样的话就需要重新同步。它们之间该怎么通讯来确定这一点呢？这个问题就是通讯问题 EQ。在这个问题里，Alice和Bob分别拥有一个字符串$x$和$y$，它们想计算$x==y$。

对于所有通讯问题，Alice可以通过发送它的所有输入$x$到Bob，然后Bob拥有全部输入，从而计算$f(x,y)$。注意在通讯问题里面，我们只考虑通讯消耗，而不考虑本地的计算时间和空间消耗。我们能设计更好的通讯协议吗？

对于一个通讯问题，如果要求对于任何输入，输出结果完全精确，这种符合条件的协议称为确定型通讯协议。但在实际应用中，我们可以容忍一个足够小的出错概率。在某些时候这是有很大好处的。比如上面那个EQ通讯问题，在要求结果完全精确的情况下，Alice发送自己的$x$已经是一个最优方案了。但在实际应用中，我们有一个更简单的方法，那就是发送hash函数（比如MD5码），然后双方检验MD5码即可。当然某种意义上这个协议不够严格，更严格的应该是Alice随机选择一个合适长度的质数$p$，然后发送$(p, x\mod p)$。

Communication Complexity 通讯复杂性

复杂性的意思就是说一个问题不能以多快的速度解决。比如EQ的任何确定型通讯协议无法比发送所有输入做得更好，这说明EQ的复杂度为$O(n)$。类似于计算理论，人们发现证明一个复杂性比设计一个算法和协议更困难。

量子通讯复杂性

量子通讯和上面的经典通讯基本上是一样的，除了Alice和Bob是两台量子计算机，可以操纵量子比特，以及它们之间共享量子通道可以发送量子比特。我们希望能够尽可能少的发送量子比特就能解决问题。

就像在计算理论里，人们非常关系量子系统的引入能否大幅度提高计算的速度，人们也关心量子系统对于通讯的帮助。目前，人们发现对于partial函数(对于某些输入对$(x,y)$，$f(x,y)$可以没有定义的$f$称为partial函数)，量子系统可以指数级的缩减发送的比特数，但对于完全函数(对$\forall (x,y)$，$f(x,y)$都有定义)，人们猜测量子系统是没有帮助的。

通讯复杂性理论和信息论

通讯复杂性理论和信息论是两个不同的领域。通讯复杂性通常研究如何发送尽可能少的比特得到计算结果，而信息论是研究通讯的过程(?)，比如如何纠错，如何利用量子纠缠等。现在的量子信息论发展非常火热，但和量子通讯复杂性是两个完全不同的概念。

GT 一个更复杂的例子

现在Alice和Bob分别拥有两个字符串$x$和$y$，它们该如何确定谁的字符串更大(按字典序)呢？同样这里很低的错误概率是可以忍受的。

思路：每次Alice和Bob先检查前一半输入是否相等（调用EQ的通讯协议），如果是，抛弃之；否则后一半可以抛弃；重复这个步骤即可。

© zhiqiang for 阅微堂, 2008. | 链接 | 8 条评论

下面是wikipedia上算法的定义：

算法是指完成一个任务所需要的具体步骤和方法。也就是说给定初始状态或输入数据，经过计算机程序的有限次运算，能够得出所要求或期望的终止状态或输出数据。

算法常常含有重复的步骤和一些比较或逻辑判断。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

一个简单而且耳熟能详的算法的例子是求最大公约数的辗转相除法：给出两个数，要求出他们俩的最大公约数。在小学的时候，我们就知道这样做就行了：将大数除以小数，用所得余数替换大数，继续用这两个数中大者除以小者，用所得余数替换较大者，继续下去，直到所得余数为0，此时除数即为所求的最大公约数。下面是一个实例：(15, 21) = (15, 6) = (3, 6) = (3, 0) = 3。又如，要判断某个数是否为质数，只需枚举所有比它小的数，检验是否其约数即可。

算法是理论计算机的灵魂。几乎所有问题都围绕它而来。为了讨论算法的性质，在理论计算机中，算法已不限于只是上面定义中的计算机程序。或者说，这里计算机的含义被大大扩广了。

我们平时所说和所使用的计算机，基于图灵提出的确定型图灵机模型。它是最好理解的：给出固定的程式，模型按照程式和输入完全确定性地运行。

但为了理解算法和这种确定型图灵机的能力，人们又发展了许多其它各式各样的图灵机模型。其中最为有名的是非确定型图灵机。这种计算模型，它在进行计算的时候，会自动选择最优路径进行计算。通俗地说，它有预测能力。比如说，为了说明某个数是合数，非确定型图灵机会猜测一个数，恰好是其因子，从而证明了它不是质数。

确定型和非确定型图灵机的计算性能所引起的P vs NP问题，一直是理论计算机科学的核心问题，这点下面专文论述。

另一个引起广泛关注的计算机模型是量子计算机模型。与上面的非确定型图灵机只存在于人们的想象中不同，量子计算机在物理上是可以实现的。关于量子计算理论，以后也有单独的介绍性文章。

虽然上面的各种计算模型的效率可能不同，比如非确定性图灵机判定一个数是合数便要快得多，但是它们的计算能力是完全一样的。也就是在某个计算模型上面运行的算法，可以被其余模型模拟实现。

这些计算模型的计算能力是一样的，那是不是世界上所有问题都有算法呢？看上去这似乎是一个哲学问题，但答案早就有了，有些问题是不可能能通过算法求解的，连下面这个看上去很简单的问题都不行：给出一些分数（指12/23，18/9这样的），问是否可以从中选出若干个分数数（可以重复选取），使得按一定顺序排起来，其分母连起来和分子连起来恰好一样？

© zhiqiang for 阅微堂, 2006. | 链接 | 15 条评论