给定$n\times n$的实数矩阵，每行和每列都是递增的，求这$n^2$个数的中位数。

使用类似Tarjan的线性中位数的方法，每次找每列中位数，然后找中位数的中位数，之后可以删除前一半列的上半部分或者后一半列的下半部分，这样可以实现复杂性$O(n\log^2n)$。

但是这个问题是有$O(n)$的算法的，在Top Language Google Group的Obtuse Sword的指点下，找到了这个问题的原始论文：Generalized Selection and Ranking: Sorted Matrices。事实上这篇论文证明了更强的结论：

对于一个$n\times m$($n\leq m$)的矩阵，若每行和每列都是递增的，则可以在$O(n\log2m/n)$找到第$k$大的数。

算法的基本思路是将矩阵依次对半划分成更小的子矩阵，然后删除不可能包含所求中位数的子矩阵。通过对每次划分后子矩阵个数的估计，发现此算法时间复杂度为$O(n\log2m/n)$。

使用同样的技巧，可以证明更更强的结论(这个算法具体过程就没细看了):

一堆$n_i\times m_i$($n_i\leq m_i$)的矩阵，若每个矩阵的每行和每列都是递增的，则selection problem（即找第$k$大的数）的时间复杂度为$O(\sum n_i\log2m_i/n_i)$。

© zhiqiang for 阅微堂, 2008. | 链接 | 4 条评论