阅微堂 » 硬币游戏 http://zhiqiang.org/blog zhiqiang's personal blog Wed, 08 Sep 2010 04:07:10 +0000 http://wordpress.org/?v=2.9.1 en hourly 1 硬币游戏的答案 http://zhiqiang.org/blog/science/rotate-coin-game-solution.html http://zhiqiang.org/blog/science/rotate-coin-game-solution.html#comments Wed, 30 Jul 2008 06:49:40 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/posts/rotate-coin-game-solution.html 前两天贴出了一个硬币游戏，希望寻找一种胜利策略。这是一个非常有意思的题目，没事做的时候可以用来锻炼思考能力。我迫不及待的想在这里公布解答，因为我已经把它解决掉了。如果有人还想继续享受思考的乐趣，请飘至原问题。

n=4的简单情形，

Tony Liu和overwindows已经给出了正确答案：

  • 第一步：任一对角线翻转
  • 第二步：任一条边翻转
  • 第三步：任一对角线翻转
  • 第四步：任一个硬币翻转
  • 第五步：任一对角线翻转
  • 第六步：任一条边翻转
  • 第七步：任一对角线翻转 

这个策略分成两部分，前三步和后三部。前三步处理棋盘上有偶数颗正面朝上的硬币的情况。第四步把奇数颗正面朝上的情况转化成偶数颗正面朝上的硬币，然后重复使用前三步的策略即可。

这个策略可以直接推广到n=2^k的情形：

在给出策略前，先定义硬币状态为0如果正面朝上，为1若正面朝下。若干个状态的XOR和指状态的和除以2的余数。两个硬币对称是指两个硬币处于正多边形棋盘的直径上（此时n为偶数）。

假设S(k)为n=2^k时的策略。我们来递归构造策略S(k)：

(i). 如果棋盘上任何对称的硬币方向都相同，则将对角的硬币看成一个整体（同时操作）之后，2^k枚硬币转化成k-1的情形，调用 S(k-1)即可让所有硬币方向相同。此策略记为C_1。

(ii). 如果棋盘上任何对称的硬币方向都相同或者同时都相反，类似(i)，先调用C_1，若硬币方向都相同，则已经解决了问题。若否，注意到调用C_1的过程只会同时改变对称的两个硬币的朝向，这样调用C_1之后还是满足任何对称的硬币方向都相反，这时候，翻转连续的2^{k-1}个硬币，从而可以转化成(i)的情况。所以，策略C_2=(C_1, F(2^{k-1}), C_1)可以解决任何对称的硬币方向相同或者相反的情况。其中F(2^{k-1})表示翻转连续的2^{k-1}个硬币。

(iii). 接下来主要是把问题转化为(ii)中的情况。这时候只需要对某连续2^{k-1}枚硬币调用S(k-1)即可。这是因为如果我们把对称的硬币看成一个整体的话，则这次S(k-1)的每次操作都只作用于任何对称的硬币的其中一枚上。这样，如果我们考虑对称硬币状态的XOR和的话，S(k-1)的过程中会出现所有对称的硬币方向都相同或者都相反的情形，也就是(ii)中的情况。由于我们不知道这个状态在什么时候出现，所以在这个S(k-1)的每一步后，都需要执行一次C_2操作。另外要注意的是，C_2的操作不会影响外围的S(k-1)操作。

注：此策略的最优性未知。

n不是2的幂次时Alice没有必胜策略

考虑Alice的最后一步，如果Alice总是能够在最后一步或之前使所有硬币方向一样，假设她的最后一步是必要的（存在一种情况在最后一步才达到方向一致），假设Alice最后一步翻转的硬币是集合T，翻转后使得所有硬币都朝上或者朝下。由于Bob可以将棋盘任何旋转若干个位置，这说明对任何的旋转角度i=1,2,\cdots,n，均有T+i=T\ or\ \bar{T}，其中集合T+i=\{t+i\mod n:t\in T\}。这只可能在n为偶数并且T为所有奇数位置或者所有偶数位置才可能达得到。

而若n=2^\alpha\beta并且\beta为大于1的奇数。这时候我们将所有硬币分为连续的\beta组，每组由连续的2^\alpha枚硬币构成。每组的状态(0或者1)是组内所有硬币状态的XOR和。如果Alice存在一个获胜的策略，那么在分组后的游戏中，Alice也应该总是能获得胜利。但如上一段所指出的，在奇数组的游戏中，Alice不可能获胜。从而导致了一个矛盾。

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