我们知道在数学里证明一个东西的存在性的时候，有时候只证明了“存在性”，而且在证明过程中并没有说明如何找到它，这种证明方法被称为“非构造性证明”。有些流派的数学家对这种证明方法非常不满，具体这里就不详谈了。

这里要说的是，一个玩意儿，即时你知道它总是存在的，它也是可以算出来的，但是不是就一定能够很快的比如在多项式时间之内算出来呢？

Game Theory已经证明了在两人非合作博弈中，纳什均衡总是存在的，但是如何计算它确被证明是PPAD-hard的，一个被猜测不属于P的复杂类。

纳什均衡的计算问题不太好理解，下面介绍一个问题，描述比较简单非常容易理解。它有类似的效果，存在性可在数学上被证明，但如何计算它却不知道，复杂性也未知。

输入：一个点的图，顶点构成一个正边形，以及它们之间的条边。其中条为多边形的边，另外条边构成个顶点互不重合的三角形。下图为一个的例子。

输出：这个图的一种三染色方案（给定点染色，使任何有边相连的顶点都不同色）。

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float InvSqrt (float x){
    float xhalf = 0.5f*x;
    int i = *(int*)&x;
    i = 0x5f3759df - (i>>1);
    y = *(float*)&i;
    y = y*(1.5f - xhalf*y*y);
    return x;
}

我们这里分析一下它的原理（指程序的正确性，而不是解释为何快）。

分析程序之前，我们必须解释一下float数据在计算机里的表示方式。一般而言，一个float数据共32个bit，和int数据一样。其中前23位为有效数字，后面接着一个8位数据表示指数，最后一位表示符号，由于这里被开方的数总是大于0，所以我们暂不考虑最后一个符号位。此时

如果我们把计算机内的浮点数看做一个整数，那么

现在开始逐步分析函数。这个函数的主体有四个语句，分别的功能是：

int i = *(int*)&x; 这条语句把转成。

i = 0x5f3759df - (i>>1); 这条语句从计算。

y = *(float*)&i; 这条语句将转换为。

y = y*(1.5f - xhalf*y*y); 这时候的y是近似解；此步就是经典的牛顿迭代法。迭代次数越多越准确。

关键是第二步 i = 0x5f3759df - (i>>1); 这条语句从计算，原理:

令，用和带入之后两边取对数，再利用近似表示，算一算就得到

若取，就是程序里所用的常量0x5f3759df。至于为何选择这个，则应该是曲线拟合实验的结果。

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翻了一下，很多算法都不是直接给出的，只是给出一些原理描述和参考文献。看来这本也真只能当当索引用了。

没事做的话可以先欣赏一下第698页的O(n)的平面图判定算法。

按照推荐人xiexie的说法，看在原书高达309欧元的价格份上，也得下载一本回来爽一爽。

听说个人blog上不要放版权材料，下载地址大家自己找吧。

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使用类似Tarjan的线性中位数的方法，每次找每列中位数，然后找中位数的中位数，之后可以删除前一半列的上半部分或者后一半列的下半部分，这样可以实现复杂性。

但是这个问题是有的算法的，在Top Language Google Group的Obtuse Sword的指点下，找到了这个问题的原始论文：Generalized Selection and Ranking: Sorted Matrices。事实上这篇论文证明了更强的结论：

对于一个()的矩阵，若每行和每列都是递增的，则可以在找到第大的数。

算法的基本思路是将矩阵依次对半划分成更小的子矩阵，然后删除不可能包含所求中位数的子矩阵。通过对每次划分后子矩阵个数的估计，发现此算法时间复杂度为。

使用同样的技巧，可以证明更更强的结论(这个算法具体过程就没细看了):

一堆()的矩阵，若每个矩阵的每行和每列都是递增的，则selection problem（即找第大的数）的时间复杂度为。

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2008/04/01补充：此算法有重大缺陷。详情请见留言部分。

一年前，我们讨论过一个算法问题，perfect shuffle，据称是个微软面试题：

输入，如何用的时间，的空间，将这个序列顺序改为。

那一次讨论我们翻出了问题的来源，一篇长达12页的论文Computing the Cycles in the Perfect Shuffle Permutation，算法那是非常的复杂，我估计贴出来都没几个人仔细看。

这一次，Xie Xie（没错，又是他 ）翻出了Art of Computer Programming, Volume 3上的一个难度为40分的Merge Sort习题：

已知数列，设计算法使得在线性时间，常数空间实现归并，也就是将原数组排序。

而Perfect Shuffle问题是可以规约到这个Merge Sort问题的：

mergeSort(x[1...2n]); // if this function solve Merge Sort problem
perfectShuffle(x[1...2n]): // then this solve Perfect Shuffle problem
     m <- max(x[1...2n])+1;
     x[i] <- x[i]+(2i-1)m,
     x[i+n] <- x[i+n] + 2im
     mergeSort(x[1...2n])
     x[i] <- x[i]%m

原来我还不相信这个问题会是一个面试题。现在我信了。因为那个归并排序的算法还是有些牛人会知道的。

很好很强大。

另注：从2006年4月1号愚人节开始，阅微堂成立两周年了。

过去一年，阅微堂共发表了201篇文章，其中包括Liu Tao先生的19篇文章，sog white的17篇文章，以及一些授权转载的网友原创作品。共3389条留言。

感谢大家的关注和对阅微堂的支持。

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