最大回撤是一个重要的风险指标。对于对冲基金和数量化策略交易，这个指标比波动率还重要。

最大回撤

定义：对于序列$x_1,x_2,\cdots,x_n$，定义最大回撤$d$为

$$d = \min_{i\leq j} (x_j - x_i) = \min_j (x_j - \max_{i\leq j} x_i)$$

根据上述等式，很容易得到一个最大回撤的O(n)的算法。

最大短期回撤

最大回撤发生的时间跨度可以非常长。现在我们定义局部最大回撤，区别在于限制回撤发生的时间跨度，对给定的跨度$k$，定义最大短期回撤$d_k$为：

$$d_k = \min_{0\leq j-i\leq k} (x_j - x_i)= \min_j (x_j - \max_{j-k\leq i\leq j} x_i)$$

这个问题在网上贴出来一个小时，Yangzhe1990和uni（其中uni是我7年前参加ACM的队友，这么多年过去他还宝刀未老）就给出了算法。具体方法这两位在留言处写得比较清楚了，这里不再阐述。

最大短期回撤在风险度量上是有意义的。对于一个指数（或者产品），如果我们会长时间持有，那么直接考虑最大回撤。但若策略中限定了持有时间，最大短期回撤的指标会更合适一些。

VBA程序

对上面的算法做了实现，见下面的Excel模板，内含函数演示。VBA代码有详细注释。

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Google新推出了图片搜索，可直接上传图片（或者用图片链接）搜索网络上的相似图片，例子。估计还没多少人意识到，这玩意儿是人肉搜索的大杀器，以后大家还是少上传私人照片到公开网络。

阮一峰介绍了一个简单的图片搜索原理，可分为下面几步：

1. 缩小尺寸。将图片缩小到8x8的尺寸，总共64个像素。这一步的作用是去除图片的细节，只保留结构、明暗等基本信息，摒弃不同尺寸、比例带来的图片差异。
2. 简化色彩。将缩小后的图片，转为64级灰度。也就是说，所有像素点总共只有64种颜色。
3. 计算平均值。计算所有64个像素的灰度平均值。
4. 比较像素的灰度。将每个像素的灰度，与平均值进行比较。大于或等于平均值，记为1；小于平均值，记为0。
5. 计算哈希值。将上一步的比较结果，组合在一起，就构成了一个64位的整数，这就是这张图片的指纹。组合的次序并不重要，只要保证所有图片都采用同样次序就行了。

这种方法对于寻找一模一样的图片是有效的，但并不能够去搜索“相似”的照片，也不能局部搜索，比如从一个人的单人照找到这个人与别人的合影。这些Google Images都能做到。

Google的算法，其官方描述为：

When you upload an image to Search by Image, the algorithms analyze the content of the image and break it down into smaller pieces called “features”. These features try to capture specific, distinct characteristics of the image - like textures, colors, and shapes. Features and their geometric configuration represent the computer’s understanding of what the image looks like.

大意是说在Google眼里，图片并不是一个由像素点构成点阵，而是一些“features"，包括形状、质地和颜色块。图片之间的比较，是直接去比较图片里的线条等。官方文档里有一个视频（在Youtube上）动态地描述了计算机是如何看图片的。

早在2008年，Google公布了一篇图片搜索的论文（PDF版），和文本搜索的思路是一样的：

• 对于每张图片，抽取其特征。这和文本搜索对于网页进行分词类似。
• 对于两张图片，其相关性定义为其特征的相似度。这和文本搜索里的文本相关性也是差不多的。
• 图片一样有image rank。文本搜索中的page rank依靠文本之间的超链接。图片之间并不存在这样的超链接，image rank主要依靠图片之间的相似性（两张图片相似，便认为它们之间存在超链接）。具有更多相似图片的图片，其image rank更高一些。

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注: 这个问题来自China Theory Week 2008的Open Problems Session。

我们知道在数学里证明一个东西的存在性的时候，有时候只证明了“存在性”，而且在证明过程中并没有说明如何找到它，这种证明方法被称为“非构造性证明”。有些流派的数学家对这种证明方法非常不满，具体这里就不详谈了。

这里要说的是，一个玩意儿，即时你知道它总是存在的，它也是可以算出来的，但是不是就一定能够很快的比如在多项式时间之内算出来呢？

Game Theory已经证明了在两人非合作博弈中，纳什均衡总是存在的，但是如何计算它确被证明是PPAD-hard的，一个被猜测不属于P的复杂类。

纳什均衡的计算问题不太好理解，下面介绍一个问题，描述比较简单非常容易理解。它有类似的效果，存在性可在数学上被证明，但如何计算它却不知道，复杂性也未知。

输入：一个$3n$点的图，顶点构成一个正$3n$边形，以及它们之间的$6n$条边。其中$3n$条为多边形的边，另外$3n$条边构成$n$个顶点互不重合的三角形。下图为一个$n=3$的例子。

输出：这个图的一种三染色方案（给定点染色，使任何有边相连的顶点都不同色）。

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下面这个求$1/\sqrt{x}$的函数号称比直接调用sqrt库函数快4倍，来自游戏Quake III的源代码。

float InvSqrt (float x){
    float xhalf = 0.5f*x;
    int i = *(int*)&x;
    i = 0x5f3759df - (i>>1);
    y = *(float*)&i;
    y = y*(1.5f - xhalf*x*x);
    return x;
}

我们这里分析一下它的原理（指程序的正确性，而不是解释为何快）。

分析程序之前，我们必须解释一下float数据在计算机里的表示方式。一般而言，一个float数据$x$共32个bit，和int数据一样。其中前23位为有效数字$M_x$，后面接着一个8位数据$E_x$表示指数，最后一位表示符号，由于这里被开方的数总是大于0，所以我们暂不考虑最后一个符号位。此时

$$x=1.M_x 2^{E_x-127}$$

如果我们把计算机内的浮点数$x$看做一个整数$I_x$，那么

$$I_x = 2^{23}E_x+M_x$$

现在开始逐步分析函数。这个函数的主体有四个语句，分别的功能是：

int i = *(int*)&x; 这条语句把$x$转成$i=I_x$。

i = 0x5f3759df - (i>>1); 这条语句从$I_x$计算$I_{1/\sqrt{x}}$。

y = *(float*)&i; 这条语句将$I_{1/\sqrt{x}}$转换为$1/\sqrt{x}$。

y = y*(1.5f - xhalf*y*y); 这时候的y是近似解；此步就是经典的牛顿迭代法。迭代次数越多越准确。

关键是第二步 i = 0x5f3759df - (i>>1); 这条语句从$I_x$计算$I_{1/\sqrt{x}}$，原理:

令$y=1/\sqrt{x}$，用$x=(1+m_x)2^{e_x}$和$y=(1+m_y)2^{e_y}$带入之后两边取对数，再利用近似表示$\log_2(1+z)\sim z+\delta$，算一算就得到

$$I_y = \frac{2}{3}(127-\delta)2^{23}-I_x/2$$

若取$\delta=0.0450465679168701171875$，$\frac{2}{3}(127-\delta)2^{23}$就是程序里所用的常量0x5f3759df。至于为何选择这个$\delta$，则应该是曲线拟合实验的结果。

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Xie Xie推荐了一本今年出版的一本新书，Encyclopedia of Algorithms，全书1200页，涵盖各类有名问题的算法，概率算法，近似算法，量子算法等。

翻了一下，很多算法都不是直接给出的，只是给出一些原理描述和参考文献。看来这本也真只能当当索引用了。

没事做的话可以先欣赏一下第698页的O(n)的平面图判定算法。

按照推荐人xiexie的说法，看在原书高达309欧元的价格份上，也得下载一本回来爽一爽。

听说个人blog上不要放版权材料，下载地址大家自己找吧。

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