A开设一个赌局，A从1到100选出1个数，B做一个猜测，如果猜中了这个数，则可获得同样多的钱，比如A选择了10，B猜中了，则B获得10块钱；如果B猜错了则什么都拿不到。

问题：B愿意付多少钱来玩这个游戏？

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这次去野外拓展，见到了一个比较好玩的划拳方式。与传统的石头剪刀布划拳一样，不过这里需要三轮：

1. 两人分别出左手；
2. 两人再出右手；
3. 两人撤回一只手。

两人剩下的那只手按照传统的锤子剪刀布比大小。

这个游戏有趣的两点：

• 一次比赛就能分出胜负的概率只有50/243，大约为1/5。也就是说这个游戏有4/5的机会大家打个平手，所以说它是一个和平的游戏。
• 第一轮出手赢的一方最后输的可能性更大，第一轮赢的一方最后输的可能性为17/81，而赢的可能性只有8/81。

游戏策略：

1. 第一轮左手随机出石头，剪刀和布。
2. 如果和对方出一样的，比如两人都出了石头，此时两人第二只手的最优策略都是出布，然后第三轮撤回石头。此时平局。
3. 如果第一轮赢了对方，比如自己出石头，对方出剪刀，此时以2/3的概率出剪刀，1/3的概率出布。
4. 如果第一轮输给对方，比如自己出了剪刀，对方出石头，此时以2/3的概率出石头，1/3的概率出布。
5. 也就说说如果第一轮两人出的不一样，则第二轮中以2/3的概率出对方出的，1/3的概率出另外一个。
6. 在第三轮，如果两人出的一样，比如两人都出了石头和剪刀，则撤回剪刀，此时平局。在第三轮，如果除去相同的一个，另外一只手赢了对方，比如自
7. 己出的是石头和剪刀，对方出的石头和布，则以2/3的概率撤回剪刀，1/3的概率撤回石头。
8. 在第三轮，如果除去相同的一个，另外一只手输给了对方，比如自己出的是石头和布，对方出的是石头和剪刀，则以2/3的概率撤回布，1/3的概率撤回石头。
9. 也就是说在前两轮如果两人出的不全一样，那么以1/3的概率撤回两人都有的那只手，2/3的概率撤回另一只手。

这个策略还是很复杂的，而且里面需要1/3和2/3的概率。我个人感觉，人不是一个很好的概率生成器，我们要么生成了均匀的概率分布，要么就固定出某个东西了。如果把这个因素考虑在内，就有更优化的结论。等我下回分解。

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Game Theory即博弈论，目前在经济学中运用得最多(纳什更因为他在这上面的工作拿到了诺贝尔经济学奖)。但在最近几年，理论计算机界对它的研究也很热。

Game Theory主要是研究在两人甚至多人的系统中，各方如何选择自己的策略使自己的效益最大化。这里每个人的收益不光决定于自己的决策，还决定于其它人的决策。主要有两种不同的游戏，一种是两人零和游戏，只一个人赢的就是另一个人亏损的。一个典型的例子是下面这个，前两天有人在水木社区数学版问的：

某个村庄上只有一名警察，他要负责整个村的治安。小村的两头住着两个全村最富有的村民A和B，A、B分别需要保护的财产为2万元、1万元。整个小村某一天来了个小偷，要在村中偷盗A和B的财产，这个消息被警察得知。

因为分身乏术，警察一次只能在一个地方巡逻；而小偷也只能偷盗其中一家。若警察在某家看守财产，而小偷也选择了去该富户家，就会被警察抓住；若警察没有看守财产的富户家而小偷去了，则小偷偷盗成功。

小偷将会去偷哪家？警察又应该守哪家？

还有一种是非零和博弈，经典的囚徒困境就是这一类。在这类博弈中，有可能产生合作实现双赢或者互相欺骗最后双输。

但无论哪种游戏（零和博弈可以看作非零和博弈的一种特殊情况，而n人非零和游戏又可视为n+1人的零和游戏），都存在均衡策略（指各方在知道对方的策略后不会主动改变自己现在的策略）。这就是纳什获得诺贝尔奖的主要结果，后世称此种均衡态为纳什均衡。

理论计算机里的Game Theory主要是研究计算纳什均衡的算法和复杂度。对于两人零和游戏，均衡点的计算即为一个线性规划的问题，目前已经有有效的算法。对于两人(和多人)非零和游戏，均衡点的计算已经被证明为PPAD-complete，一个在P和NP之间的复杂类。

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注：这篇文章是应You XU邀请的guest blog。

1964年3月13号凌晨3点，纽约酒吧经济Kitty Genovese在即将到达寓所时，遭到持刀暴徒的侵犯，她惊恐的尖叫并恳求帮助。但她的38户邻居，很多人走到窗户前观望了片刻，目睹她在歹徒手中挣扎，但直到歹徒离开，才有人打电话报警。但Genovese却未能得到及时救治很快就死去了。^[1]

为什么Kitty的邻居没有一个人援助她？人们普遍归因于人的异化与冷漠。但心理学家有不同的看法，大量的实验和研究显示在公共场所观看危机事件的旁观者越多，愿意提供帮助的人就越少，这被称为旁观者效应。

为什么会这样呢？心理学家

...猜测，当旁观者的数目增加时，任何一个旁观者都会更少地注意到事件的发生，更少地把它解释为一个重大的问题或紧急情况，更少地认为自己有采取行动的责任。^[1]

下面用经济学中的纳什均衡^[2]的方法定量地说明，在人数变多时，的确是任何一个人提供帮助的可能性变小，而且存在某人提供帮助的可能性也在变小！通俗的说，在开头的报警案例中，围观者（邻居）越多，报警的可能性越小！ (这些来源于2年前与同学的讨论，只不过当时还不知道心理学上也有对应的分析。)

在这里假设人都是利益动物（也就说下面的分析不考虑社会心理学中提到的人的心理因素）。在最开始的抢劫案件中，假设有$n$个围观者，有人提供帮助（报警），每个人都能得到$a$的固定收益，但报警者会有额外损失$b$（可以看成提供帮助所消耗的时间，精力或者报警者所可能遇到的危险——注意最近的彭宇案件）。容易知道，在$b>a$时，一个完全理性的人不可能去报警，所以我们只考虑$0\leq b \leq a$的情形。我们来分析一下，在这个模型里面，每个人将如何行动？

按照上面的假定，对于某个人A而言，他的收益矩阵为：

我们求上面的收益矩阵的纳什均衡，由于每个人都是对称的（暂且只考虑对称的纳什均衡），无妨假设每个人不报警的概率为$p$，不难得到纳什均衡在$p=(\frac{b}{a})^{\frac1{n-1}}$达到。注意$p$是随着人数$n$增大而增大的！更重要的是，存在某人报警的概率$1-p^n=1-(\frac{b}{a})^{\frac{n}{n-1}}$随着人数的增加而减少！

注意，上面的结果也提供了报警的概率与$\frac{b}{a}$的相关关系。

更多推断：

• 相对而言，城市居民比小乡村居民更冷漠：在人少的地方获得帮助的可能性反而更大。
• 朋友并不是越多越好的(?)
• 求助时不要同时向若干人求助，即便如此也不要让他们互相知道。
• 常在新闻里看到，一人受伤或者...，多少多少人围观，却没有人提供帮助。但从上面的分析可以看出，更多人看热闹并不代表着社会道德水平更低。
• 一个社会的道德水平，如不考虑别的因素（社会和心理上的），将由$b$和$a$的比值决定，而在受益$a$确定的情况下，完全由$b$决定，这里的$b$是提供帮助的成本（包括时间，精力，以及有可能遭致的打击报复，甚至忘恩负义者的反咬）。
• 和谐社会，需要努力降低前面的$b$值，通过给与金钱上或者精神上的奖励。
• 最近的彭宇事件，根据网络上的反应，这件事情大大提高了$b$，将导致道德水平下降。[西乔有一篇文章老太摔倒均衡点给出了类似的分析]

参考：

[1] David G. Myers, Social Psychology - 社会心理学, P363-369.

[2] 纳什均衡, 简单说来，纳什均衡是指相互作用的经济主体，每一方都在另一方所选择的战略为既定时，选择自己的最优战略。一旦双方达到了这种纳什均衡，都不会再有做出不同决策的冲动或激励。其最重要的案例是囚徒困境。

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