注：这学期姚期智先生在清华给了一门研究生课程《高等理论计算机I》，主要内容就是讲量子计算，我也许诺要写一些这方面的东西，现在这门课已经接近了尾声，下面开始第一篇。

准确的说，这篇不算我写的。基本上是翻译自Why the world needs quantum mechanism。而且必须得说，原文比这个翻译要详细和有趣得多，所以大家尽量去看原文吧。

理解现代物理的一个挑战是当我们讨论微观物质时某些概念过于抽象，它们超出了我们的“常识”。在这里我们使用一种我们更容易理解的表述方式。

我们首先讨论抛硬币。我们可以观察到硬币在落地时是正面朝上还是反面朝上。这看起来似乎没有问题。但事实上在我们观察的时候发生的事情比我们想象得要多。在你的大脑真正确定硬币的朝向之前，日光或者某种其它类型的光线从银币上反射进入你的眼睛，刺激你的视神经，信号传送到你的大脑。

物理学家将这种确定硬币朝向的过程称为“测量”，更准确地说，这种观测硬币的行为被称为测量硬币的二元性质。它与我们日常生活中所说的用尺子去量长度等有些许不同。但是基本思想是一样的，测量是决定一个物理性质的过程，无论是确定一个物体的长度，还是一枚银币的朝向。

我们可以用肉眼去观测一枚硬币， 这符合我们的日常经验。如果我们要观测的物体是微观粒子，比如构成光的光子呢？在观测红色光线时，很多的红色光子进入了你的眼睛。光子越多，光线越亮。

光子和硬币一样，它们也可以定义很多二元性质。其中一类性质就是是否具有某个特定角度的偏振方向。对于不熟悉这个概念的人，可以取一副太阳镜，去看海洋或者池塘表面，你会注意到随着太阳镜角度的不同，它们透过的光线会不一样。这意味着随着角度的不同，不同数量的光子通过了太阳镜。比如假设你平行放置太阳镜：

这时候能通过太阳镜的光子被认为具有水平偏振方向。不是所有照射到太阳镜上的光子都具有这个偏正方向，这也是为什么有些光子无法穿过太阳镜。用先前的语言来说，太阳镜便实现了我们所说的测量，光子是否通过了水平放置的太阳镜决定了这个光子是否具有水平偏振方向。这与我们日常所说的测量的概念不太一样，但是希望你能熟悉这种物理学家的语言。

类似的方法可以测量出很多不同的物理性质。比如，我们将太阳镜从水平方向旋转45度：

那么通过这个太阳镜的光子的偏振方向为45度（这里的度数指与水平方向的夹角）。按照我们前面所说的，一个光子是否有45度的偏振方向也是一个二元物理性质，它通过一个45度角度放置的太阳镜测量。

物理学家在实验室按可以更精确测试光子是否具有某个角度偏正方向。他们可不是用太阳镜这样的新潮的玩意儿，他们用的是光子偏正方向探测器。虽然名字不太一样，但基本原理是一样的，只不过后者更为精确和昂贵。

现在要描述一个物理学家所做的一个关于偏振方向的一个试验。

试验从一个实验者Alice开始，Alice测量了一个光子是否具有水平的偏振方向。Alice会记录A=1如果这个光子的偏振方向是水平的。如果不是水平的Alice记录A=-1。

当然Alice也可以选择不同的角度，比如45度来测量。她会记录B=1如果光子的偏振方向为45度，不是的话则记录B=-1。

让我们从光子重新回到硬币上来。在我们想象的世界里，硬币要么是朝上或者朝向的，然后我们的测量揭示了这一点。硬币它自己知道自己的朝向，也就是说，朝向这个性质是“内在”的。同样，你也许期望光子同样知道它自己是否具有水平的偏振方向，同样也知道是否具有45度的偏振方向。

但结果显示世界并不是我们想象的那么简单。下面我将向你证明这个世界上存在一些基本的物理性质，它们并不像硬币的正反面一样是独立存在的。特别的，我们将看到在Alice测量A或者B偏振方向之前，光子它自己并不知道它的A和B将是什么。这与我们的日常经验相违背，听起来像银币在我们观察它时才确定它的正反面朝向一样。

为了证明这一点，我们先假设我们日常的世界观是正确的，也就是说，光子的确知道它们自己是否具有水平的偏振方向，它们有内在的A=1或者A=-1（同样的有B=1或者B=-1)。我们将发现这个假设与我们的实验结果矛盾。解决这个矛盾唯一的方式就是我们的初始假设是错误的，也就是说光子的偏振方向不是内在的。

我们先描述这个实验。除了Alice，这个实验还需要一个参与者Bob，以及第三个人Eve。Eve负责准备两个光子，分别发送给Alice和Bob。当Alice接受到发给自己的光子，就像之前描述的一样，她测量A和B其中某个偏振方向。至于具体测量A还是B完全是随机的，比如说通过抛银币来决定。这么做的原因我们后面很快就会阐述。Bob接收到光子之后，他随机的决定测量光子的22.5度的偏振方向，得到C，或者测量光子的67.5度的偏振方向，得到D。下面这个图总结了实验发生了什么。

比如在某个实验中，Alice她决定检测她所有的光子的偏振值B，并且得到B=1，也就是光子具有45度的偏振方向。在Bob这边，他决定观测偏振值C，得到结果-1，也就说说他的光子不具有22.5度的偏振方向。

假设Alice, Bob和Eve重复了很多次实验。然后他们可以将试验结果表示成下面的表：

表的每一行表示一次实验结果，所以上面这个表记录了四次实验的结果。表的第一行表示第一次实验，Alice选择了测量A，测量结果为1（光子具有水平偏振方向），同样B选择了测试D，测量结果为1（光子具有67.5度的偏振方向）。

现在我们已经了解了实验是怎么进行的，下面我们来分析一下这个实验。记住，我们从一开始就假设了每个光子都是独立存在的并且具有内在的A，B，C，D的值。每次实验可以测量出其中两个的值，取决于Alice和Bob抛硬币的结果。但是，因为这四个值都具有独立的存在性，我们可以考虑包含这四个值的一个量Q，由下面等式给出：

Q = AC + BC + BD - AD.

这里AC表示A乘以C，其中乘号被省略。

这里Q的定义有些突然，现在暂且接受它，下面你很快就会发现这个Q能导出一些很有趣的结果。

虽然Q的定义有些突然，但很计算给定A, B, C, D后的Q，比如 A = 1, B = -1, C = 1 和 D = -1，我们得到

Q = 1 x 1 + (-1) x 1 + (-1) x (-1) - 1 x (-1) = 2.

事实上，我们可以检验，无论A, B, C, D是多少，Q总是等于2或者-2。你可以枚举16种不同的可能性来验证这一点，或者用更巧妙点的方法。

当Alice和Bob做实验的时候，Alice只确定了A和B中某个的值，Bob也只确定C和D中其中一个的值。所以他们每次只能计算出组成Q的四个量的其中一个，这无法直接得出Q的值。

但是他们可以重复实验很多次，Alice和Bob可以计算AC，BC，BD和-AD的平均值。因为这四个量的和的总是2或者-2，我们将看到，重复实验若干次后，这四个平均值的和不太可能大于2：

Avg(AC)+Avg(BC)+Avg(BD)-Avg(AD) = Avg (AC + BC + BD - AD) ≤ 2.

上面这个不等式被称为Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH)不等式，用其四个发现者命名。CHSH建立在John Bell早先的一些想法上，他在1964年发现了一个类似的不等式。

你可能会问为什么在CHSH不等式中我们需要使用平均数的概念。为何不让Alice同时测量A和B, Bob同时测量C和D，从而他们可以直接计算Q？

为理解这几点，记住我们想要检测的东西是一个光子是否具有内在的性质A和B。但是单个的光子太精巧了，如果Alice测量A后再测量B，有可能对于A的测量影响到B，从而无法得到准切的Q值。为了保证得到准确的Q，在任一个实验中，我们只让Alice测量其中的一个。这也是我们为什么要计算平均数的原因。

你可能还会问Alice的测量是否会影响到Bob的测量。这也是有可能的。但Einstein相对论告诉如果我们让Alice和Bob相距足够远，尽可能同时测量并且尽可能的快，它们之间无法影响到对方（信息，或者说影响，不可能传递得比光速还快）。

所以，原则上，Alice和Bob可以通过多次重复实验，计算出Avg(AC)等，最后检验CHSH不等式是否成立。

Alain Aspect在法国的一个小组上世纪八十年代早期完成了一个实验，它们发现，如果Eve以某种方式准备两个光子，Alice和Bob将会得到试验结果：

Avg(AC)+Avg(BC)+Avg(BD)-Avg(AD) ≅ 2.8.

也就是说CHSH不等式在我们现实世界是不成立的。这意味这我们认为事物的性质都是内在的的信仰受到了挑战。CHSH不等式的失败让我们不得不去寻找一个新的理解世界的方式，一个完全不同于我们日常思维的方式。

很幸运的，我们发现了量子机制。在这个机制里，物体可以有非内在的性质。使用量子机制分析上面的实验可以精确预测到实验的结果。事实上，Clauser, Horne, Shimony and Holt在实际的实验完成之前已经预见到了实验结果。量子机制完美地解释了实验的结果。

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PS: PCP可以说是理论计算机领域近20年来的最重要的结果之一，它给了NP问题一个新的刻画，并且提供了一种证明近似算法下界的方法。下面是yijia写的PCP介绍。

作者：yijia

我们可以从最基本的NP开始。一般NP的定义是基于nondeterministic Turing machine，但我们也可以用类似于Interactive Proof的系统来刻画：

一个语言$Q$是在NP内当且仅当存在一个多项式时间的算法$V$  (i.e., prover) 满足下面一系列条件：

1. $V$有两个输入$x$和$y$，并且$|y|=poly(|x|)$；
2. 对于任意的$x$， 我们有
   2.1. 如果$x \in Q$，那么存在一个$y$使得$V(x,y)=1$，i.e., $V$ accepts $(x,y)$;
   2.2 如果$x \not\in Q$，那么对于任意y都有$V(x,y)=0$，i.e.,$V$ rejects $(x,y)$.

在2.1中，$y$可以看成是$x \in Q$ 的一个证明。对于3Sat问题，我们可以设计这样的$V$: $x$是一个3CNF公式，而y是一个对$x$中所有变元的赋值。Prover $V$就是用来验证y是否满足x。直观上$V$必须读完整个$y$才能确认$x\in Q$。 那么有没有可能改进这一点，让$V$只读$y$的一部分，来增加效率? 比如现有的Graph Minor Theory的证明有几百页，如果只要其中几页就能确认其正确那么就会省去Reviewer的很多时间。如果$V$是个确定时间的算法，这就等价于要求$|y|=o(|x|)$。那么如果每个NP问题都有这样的Prover， 我们就可以证明NP包含Subexponential Time里。一般公认这不可能成立。

但如果我们允许$V$使用Randomness，问题就开始变得有趣了。这也就是Probabilistic Checkable Proof (PCP)。

要定义一个PCP系统, 我们先要给定两个函数$r,q: N \rightarrow N$。我们说一个随机算法$V$是一个(r(n),q(n))-restricted verifier, 如果$V$在输入$(x,y)$上使用$O(r(|x|))$位随机数，访问$y$的$O(q(|x|))$位。直观上，V 扔了$O(r(|x|))$个骰子，然后根据结果去访问证明y 的$O(q(|x|))$位。 当然V还要是一个多项式时间算法，$|y|=poly(|x|)$， 同时满足所谓的non-adaptive条件（写起来太罗嗦了，所以就不写了)。

我们说这样的$V$定义了一个语言$Q$当且仅当对于任意的$x$， 我们有
(a) 如果$x \in Q$，那么存在一个y 使得$Pr[V(x,y)=1]=1$;
(b) 如果$x \not\in Q$，那么对于任意y都有$Pr[V(x,y)=1]<1/2$.

要注意的是并不是所有的$V$都定义了一个语言，因为(b)不是总能满足的。

非常壮观的PCP定理就是

Theorem 1. NP=PCP($\log n,1$)

也就是说，对于每个NP语言我们都可以构造一个$V$，在每个$(x,y)$上，仅使用$O(\log|x|)$位随机数，访问证明$y$中的常数多位，就能以很高的概率正确判断是否$x \in Q$。

由于可以证明PCP($\log n,1$)对于多项式时间规约(PTIME reductions)封闭，所以PCP定理也可以叙述为

Theorem 2. 3Sat $\in$ PCP($\log n,1$)

除了本身非常有趣和counter intuitive，PCP的一个重要应用就是近似算法的下界:

Corollary. 如果NP$\ne$P, 那么Max-3Sat没有PTAS，同时Max-Clique不存在constant approximation。

这个结论的证明就是通过PCP，构造所谓的Gap Instances：给定常数$\delta \in (0,1)$，$Gap_\delta$-3Sat是如下的问题

input: 一个3CNF公式$x$使得要么存在一个满足$x$的赋值，要么所有的赋值最多满足$\delta$-fraction的clauses。
question：$x$ 是否可满足？

Corollary 3. 存在一个$\delta$，使得存在一个3Sat到$Gap_\delta$-3Sat的规约。

实际上我们可以证明

Theorem PCP定理成立当且仅当上面的Corollary成立。

现在PCP定理有两个证明：一个就是由Arora，Sudan等人在90初完成的基于代数的方法，直接证明Theorem 2。证明的核心某种意义上就是Error Correcting Code。另一个就是Dinur前几年完成的基于Expander的组合方法，直接证明Cororllary 3。前者的证明很长，但实际上比较初等，而后者短一些且非常漂亮。

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姚期智教授给清华大学新入学研究生开的一门课，课程内容

在经典计算复杂性方面：NP完全性，多项式空间复杂性，对数空间复杂性，交互式证明系统，随机复杂性，去随机化，概率检验证明系统，电路复杂性，通信复杂性，判定树复杂性等。在量子计算复杂性方面将包括：量子计算模型，量子电路，量子Fourier变换算法，Shor算法，Grover量子搜索算法，量子纠错码，冯诺依曼墒等。

从这里可以看出理论计算机的一些主要的方向。按照姚先生的说法，这些是做理论的学生，多少都应该知道一点的东西，这样跟别人讨论的时候才不会embarrass。Researcher不应该局限于自己所专注的领域，眼界要开阔; 这也是开这门课的主要原因。

参考教材

[1] Complexity Theory: A Modern Approach, Sanjeev Arora and Boaz Barak.
[2] Quantum Computation and Quantum Information, Michael Nielsen and Isaac Chuang.
[3] Lecture nots: Quantum Computation, instructor Umesh Vazirani

这门课有I，II两个学期。这个学期主要讲量子计算和量子信息的一些东西吧。我恰好跟着写一些关于量子的东西放到这里，当然都是简单介绍性质的，目的是大家看了之后，对一些NC的东西有简单的辨别力，比如新浪科技的这篇瑞士实验显示量子信息传输速度远超光速。

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