注：此游戏很有名，有同学问我其算法，我在网上找了一下，居然没多少中文资料，这里按照以前看过的一份答案回忆整理贴出。

游戏规则很简单，4*4的方格里有15个方格块，标记为1，2到15，有个位置是空的。每次方块可以滑动到旁边的空格中（与华容道类似）。问是否可以变成左下图这种状态？

一个明确的问题是从右下图这种状态变到左下图的标准状态。听说有人靠卖这个积木游戏赚了大钱，并且设定了一个高额奖金。

定理：记空格为16。初始状态为$1,2,\cdots, 16$的一个排列$\pi$。方格黑白相隔染色。当且仅当$\pi$为偶排列且空格位于白色格 或者 $\pi$为奇排列且空格位于黑色格，可以移动到标准状态。

必要性：每次移动，$\pi$的奇偶性都改变，空格所在格子颜色亦发生改变。

充分性：按照1,2,3,4,5,9,13,6,7,8,10,14的顺序把格子移到正确的位置上即可。

推论：故从右上图是不可能变成左上图的。没有人能拿到奖金。

注1：一个排列$\pi_1, \pi_2, \cdots, \pi_n$的奇偶性定义为$\prod_{i>j}(\pi_i-\pi_j)$的符号。正为偶排列，负为奇排列。任意调换两个数的位置都会改变其奇偶性。

注2：此结论和证明对$n\times n, n\geq 2$的情形都有效

附录

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