好久没有写我的理论计算机初步系列了，其实复杂性这一块，虽然平时经常遇到，但由于问题都过于本质和困难，想这方面问题的时间反而不多。Ko教授就跟我说也许NP verse P这个题并不难，只不过大家认为它很难，结果就没有多少人去做了，大家一遇到这个问题都远远得绕开。话虽如此，我还是不敢去碰的。

很多人一看到NP-hard，就从字面上理解成为比NP还难的问题。但如果这里的“更难”指得是解决问题所花费时间更长的话，这个论断是不正确的。从算法角度来看，NP-hard问题的确比NP难，但比NP还难（指花费时间更多）的问题却不见得是NP-hard的。

仔细检查NP-hard的定义：一个问题(语言)L是NP-Hard的，当且仅当3SAT问题可以在多项式时间规约到L，即存在一个可多项式时间计算函数f，使得$\phi\in 3SAT$当且仅当$f(\phi)\in L$。

注意NP-hard的概念只有在NP!=P的时候才有意义，因为在NP=P的时候，除了空集和全集语言外，所有问题都是NP-hard的。

但在NP!=P的时候，NP-hard问题的分布呈什么状态呢？

定理1：所有unary语言都不可能是NP-hard的(除非NP=P)。语言L是unary的，指L里的任一元素都是1ⁿ的形式。

根据此定理，如果我们能找到一个NP-hard的unary的undecidable问题，就证明NP=P了 。

定理2：Turing机停机问题是NP-hard^{(by Dr. Sun)}。

这个定理有点出人意料，但仔细想想也不难证明。而且这个问题不难转成unary的形式，可惜这个转化过程不是多项式时间的，所以转化过后就不一定是NP-hard的了。

思考1：NEXP里有问题不是NP-Hard吗？

思考2：为什么NP-complete用多项式时间规约，PSPACE-complete也用多项式时间归约，而不是多项式空间规约？

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Princeton的Sanjeev Arora和Boaz Barak最近写了一本计算复杂性方面的书：Complexity Theory: A Modern Approach，其初稿提供下载，并承诺出版后也会继续保留——要是所有作者都这么好心就好了。

下面这段摘自于第二章NP and NP completeness，写得很有趣。为什么多数人不同意P=NP呢？因为

“if (3SAT has a O(n^2) algorithm), then this would have consequences of the greatest magnitude. That is to say, it would clearly indicate that, despite the unsolvability of the (Hilbert) Entscheidungsproblem, the mental effort of the mathematician in the case of the yes-or-no questions would be completely replaced by machines.... (this) seems to me, however, within the realm of possibility.”

Kurt Godel in a letter to John von Neumann, 1956

If P = NP — specifically, if an NP-complete problem like 3SAT had a very efficient algorithm running in say O(n^2) time — then the world would be mostly a Utopia. Mathematicians could be replaced by efficient theorem-discovering programs (a fact pointed out in Kurt Godel’s 1956 letter and discovered three decades later). In general for every search problem whose answer can be efficiently verified (or has a short certificate of correctness), we will be able to find the correct answer or the short certificate in polynomial time. AI software would be perfect since we could easily do exhaustive searches in a large tree of possibilities. Inventors and engineers would be greatly aided by software packages that can design the perfect part or gizmo for the job at hand. VLSI designers will be able to whip up optimum circuits, with minimum power requirements. Whenever a scientist has some experimental data, she would be able to automatically obtain the simplest theory (under any reasonable measure of simplicity we choose) that best explains these measurements; by the principle of Occam’s Razor the simplest explanation is likely to be the right one. Of course, in some cases it took scientists centuries to come up with the simplest theories explaining the known data. This approach can be used to solve also non-scientific problems: one could find the simplest theory that explains, say, the list of books from the New York Times’ bestseller list. (NB: All these applications will be a consequence of our study of the Polynomial Hierarchy in Chapter 5.)

Somewhat intriguingly, this Utopia would have no need for randomness. As we will later see, if P = NP then randomized algorithms would buy essentially no efficiency gains over deterministic algorithms; see Chapter 7. (Philosophers should ponder this one.)

This Utopia would also come at one price: there would be no privacy in the digital domain. Any encryption scheme would have a trivial decoding algorithm. There would be no digital cash, no SSL, RSA or PGP (see Chapter 10). We would just have to learn to get along better without these, folks.

This utopian world may seem ridiculous, but the fact that we can’t rule it out shows how little we know about computation. Taking the half-full cup point of view, it shows how many wonderful things are still waiting to be discovered.

P vs NP问题的介绍见以前的文章问题概述和历史，现状和未来。

[tags]P vs NP, NP完全, NP-complete, P=NP[/tags]

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P = NP?

这个问题，作为理论计算机科学的核心问题，其声名早已经超越了这个领域。它是Clay研究所的七个百万美元大奖问题之一，在2006国际数学家大会上，它是某个1小时讲座的主题。

要说起P和NP是什么东西，得先从算法的多项式时间复杂度谈起，注意，这里面的两个P都是指Polynomial。

一个问题的规模指的是输入的总位数，比如一个n个数的排序问题，输入规模就是n。注意，在某些时候，输入规模是要值得注意的，比如判定一个数n是否是一个质数这个问题，它的输入规模并不是n，而是log(n)，因为一个数n用大约log(n)位就能表示出来了，这也是为何枚举因子判定素数的算法并不是多项式时间算法的原因。

如果一个算法，它能在以输入规模为参变量的某个多项式的时间内给出答案，则称它为多项式时间算法。注意：这里的多项式时间是指算法运行的步数。一个算法是否是多项式算法，与计算模型的具体的物理实现没有关系，虽然大多数假想的计算模型不可能有任何物理的实现。

P指确定型图灵机上的具有多项式算法的问题集合，NP指非确定型图灵机上具有多项式算法的问题集合，这里N是Non-Deterministic的意思（图灵机的概念见理论计算机初步：算法和计算模型）。

脱离图灵机的概念，就在普通的计算机上看，P问题是指能够在多项式时间求解的判定问题（判定问题指只需要回答是和不是的问题），而NP问题则是指那些其肯定解能够在给定正确信息下在多项式时间内验证的判定问题。比如，要判定一个数是合数，如果给我一个约数，我们就很快判定它就是合数。所以判定一个数是合数的问题属于NP。 下面是一些NP问题的例子：

零子集和问题

给n个整数，判断是否可以从中找到若干个数，其和为0。

旅行商问题

有n个城市，一个推销员要从其中某一个城市出发，不重复地走遍所有的城市，再回到他出发的城市。问这个推销员的最短路程(是否小于指定的K)。

从上面的定义知道，NP包含P。P vs NP问题指P是否完全等于NP，即确定型图灵机和非确定图灵机的性能是否一样。

人们为何要提出NP问题？因为，大多数遇到的自然的难解问题，最后都发现它们是NP问题。如果我们能证明NP跟P的关系，则解决了无数问题的算法复杂度问题。

NP里面有无数个不同的问题，我们是否要一个一个地判定它们是否属于P呢？P vs NP问题的美妙和简洁之处便在于在NP中，有一个子类，NP完全(NP Complete，简记为NPC)问题，指的是那些NP中最难的那些问题：所有其它的NP问题都可以归约到这些NP完全问题。也就是说，只要这些NP完全问题的某一个得到解决，无论是证明其存在多项式算法，还是不存在，都意味着P vs NP问题的解决。

而几乎所有NP里面无法确定是否属于P的问题最后都被证明为NP完全。正因为如此，多数理论计算机学家都猜测P≠NP。目前已知的NP完全问题数以千计，上面引用中的例子都是完全问题，更多NP完全问题见NP完全问题的不完全列表。

一个很自然的想法是如果NP≠P，则NP-P里面的问题都是完全问题。至少有两个自然的问题，一个是大数分解（给出一个数的质因数分解式），另一个是图同构问题（给出两个图，它们是否同构），它们既没有被证明是P的，也没有被证明是NP-完全。但是更惊人的是还有这个定理：

如果NP≠P，那么NP-P中存在非NP完全问题。

当然，这种问题具体是什么样子，是无法用直观的语言表示出来，它纯粹是一个数学上的构造性证明。

参阅：

• Complexity classes P and NP - Wikipedia, the free encyclopedia, P/NP问题- Wikipedia
• Turing machine - Wikipedia, the free encyclopedia, 图灵机- Wikipedia
• NP-hard - Wikipedia, the free encyclopedia,

备注：中国大陆可以通过http://browseatwork1.com 访问wikipedia.

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