好久没有写我的理论计算机初步系列了，其实复杂性这一块，虽然平时经常遇到，但由于问题都过于本质和困难，想这方面问题的时间反而不多。Ko教授就跟我说也许NP verse P这个题并不难，只不过大家认为它很难，结果就没有多少人去做了，大家一遇到这个问题都远远得绕开。话虽如此，我还是不敢去碰的。

很多人一看到NP-hard，就从字面上理解成为比NP还难的问题。但如果这里的“更难”指得是解决问题所花费时间更长的话，这个论断是不正确的。从算法角度来看，NP-hard问题的确比NP难，但比NP还难（指花费时间更多）的问题却不见得是NP-hard的。

仔细检查NP-hard的定义：一个问题(语言)L是NP-Hard的，当且仅当3SAT问题可以在多项式时间规约到L，即存在一个可多项式时间计算函数f，使得$\phi\in 3SAT$当且仅当$f(\phi)\in L$。

注意NP-hard的概念只有在NP!=P的时候才有意义，因为在NP=P的时候，除了空集和全集语言外，所有问题都是NP-hard的。

但在NP!=P的时候，NP-hard问题的分布呈什么状态呢？

定理1：所有unary语言都不可能是NP-hard的(除非NP=P)。语言L是unary的，指L里的任一元素都是1ⁿ的形式。

根据此定理，如果我们能找到一个NP-hard的unary的undecidable问题，就证明NP=P了 。

定理2：Turing机停机问题是NP-hard^{(by Dr. Sun)}。

这个定理有点出人意料，但仔细想想也不难证明。而且这个问题不难转成unary的形式，可惜这个转化过程不是多项式时间的，所以转化过后就不一定是NP-hard的了。

思考1：NEXP里有问题不是NP-Hard吗？

思考2：为什么NP-complete用多项式时间规约，PSPACE-complete也用多项式时间归约，而不是多项式空间规约？

© zhiqiang for 阅微堂, 2007. | 链接 | 3 条评论