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时间机器上的计算

zhiqiang — Fri, 22 Aug 2008 04:12:42 +0000

来源：Scott Aaronson的Quantum Computing Since Democritus的第19次课程。Aaronson是MIT的年青教授，也是理论计算机届的Terry Tao。美国大学课程的开放性和创造性由这门课程便可看出。

注：此文不是翻译，加入作者本人之理(误)解以及大量删减；略去很多物理背景（我也不懂），有兴趣者可阅读课程笔记原文（英文）。

人们想知道在计算中，NP问题，比如哈密尔顿回路问题（判断一个图是否有圈经过每个顶点恰好一次），是否可以在多项式时间内被解决。即使引入量子计算后，这个问题也一直悬而未决，成为千禧年七大问题之首。

如果我们在时间本身上做手脚呢？

比如在相对论中，不同物体的时间流逝不一样，如果我们能让计算机在时间流逝上快很多，那我们也变相得解决了这个问题，不是么？

很可惜，根据相对论原理，

$t'=\frac{t}{1-v^2}$

要使计算机进行指数级的加速，必须让速度指数级接近于光速，这也意味着所需要的能量指数级增长，而因为能量密度不可能大于黑洞，这也意味着计算机的大小必须指数级增长，某种程度上来说就是EXPSPACE，这是不可取的(建造指数级数量的计算机同时计算可达到同样效果)。

但更进一步的，如果我们允许时间旅行呢？

时间旅行，时空空间的闭圈，简记为CTCs（closed timelike curves），在现有物理理论中，还是相容的。我们假设CTC是可行的（量子计算理论的研究也要大大早于真正的量子计算机的出现），我们能解决什么样的问题？

一个很自然的想法就是让计算机持续计算，直到算出结果后再把结果发回来。但这样并没有改变真实计算时间。这好像你透支你的信用卡的钱一样，只不过提前支取罢了。

所以一个不那么naive的方法是把让计算机以一段时间比如1小时为限，算满1小时后把结果和进度发回来，然后计算机接着算。这样也貌似可以解决一切问题？

而这个的正确性不是那么显然的。在分析这个算法之前，我们必须讨论如果CTC存在，会是什么样子。

时间旅行的一大悖论就是祖父悖论，想想一个人回到过去杀死自己的祖父，会发生什么？这也是时间旅行理论的最大挑战。我们这里采取David Deutsch提出的理论。这个理论认为在量子机制框架下，CTC是自洽的。简单的解释下，就是这个世界是个概率空间，以markov过程的方式进行运作，如果每次新的概率分布和原来的一样，就可以避免祖父悖论了。

Deutsch在这个理论中需要causal consistency，在CTC的运行中，一切都将自洽(consistency)：新的概率分布总和原来保持一致。在经典理论中，这是不可能的。但在概率模型里面，markov过程的稳定分布则是一组解。在祖父模型中，如果你出生的概率是1/2，而且如果出生的话，则会去杀死祖父，那么你出生的概率仍然是1/2，没有任何矛盾。

接下来就是纯粹理论计算机上的结果了，记P_CTC为允许时间旅行的多项式时间可计算的问题，BQP_CTC是时间旅行机器结合量子计算机时多项式时间可计算的问题。那么有意思的是：

P_CTC = BQP_CTC = PSPACE

也就是说它们的能力是可以被精确确定的，而且远达不到无限。

注：详细证明和描述见原文。

习题：

如果有时间旅行机器的帮助，但这个机器的能力极为有限，每次只允许发回一个bit(0和1)的信息。问这台机器对于计算的帮助有多大？它能帮助解决NP问题吗？

理论计算机初步：P vs NP - 问题概述

zhiqiang — Wed, 23 Aug 2006 14:40:08 +0000

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P = NP?

这个问题，作为理论计算机科学的核心问题，其声名早已经超越了这个领域。它是Clay研究所的七个百万美元大奖问题之一，在2006国际数学家大会上，它是某个1小时讲座的主题。

要说起P和NP是什么东西，得先从算法的多项式时间复杂度谈起，注意，这里面的两个P都是指Polynomial。

一个问题的规模指的是输入的总位数，比如一个n个数的排序问题，输入规模就是n。注意，在某些时候，输入规模是要值得注意的，比如判定一个数n是否是一个质数这个问题，它的输入规模并不是n，而是log(n)，因为一个数n用大约log(n)位就能表示出来了，这也是为何枚举因子判定素数的算法并不是多项式时间算法的原因。

如果一个算法，它能在以输入规模为参变量的某个多项式的时间内给出答案，则称它为多项式时间算法。注意：这里的多项式时间是指算法运行的步数。一个算法是否是多项式算法，与计算模型的具体的物理实现没有关系，虽然大多数假想的计算模型不可能有任何物理的实现。

P指确定型图灵机上的具有多项式算法的问题集合，NP指非确定型图灵机上具有多项式算法的问题集合，这里N是Non-Deterministic的意思（图灵机的概念见理论计算机初步：算法和计算模型）。

脱离图灵机的概念，就在普通的计算机上看，P问题是指能够在多项式时间求解的判定问题（判定问题指只需要回答是和不是的问题），而NP问题则是指那些其肯定解能够在给定正确信息下在多项式时间内验证的判定问题。比如，要判定一个数是合数，如果给我一个约数，我们就很快判定它就是合数。所以判定一个数是合数的问题属于NP。下面是一些NP问题的例子：

零子集和问题

给n个整数，判断是否可以从中找到若干个数，其和为0。

旅行商问题

有n个城市，一个推销员要从其中某一个城市出发，不重复地走遍所有的城市，再回到他出发的城市。问这个推销员的最短路程(是否小于指定的K)。

从上面的定义知道，NP包含P。P vs NP问题指P是否完全等于NP，即确定型图灵机和非确定图灵机的性能是否一样。

人们为何要提出NP问题？因为，大多数遇到的自然的难解问题，最后都发现它们是NP问题。如果我们能证明NP跟P的关系，则解决了无数问题的算法复杂度问题。

NP里面有无数个不同的问题，我们是否要一个一个地判定它们是否属于P呢？P vs NP问题的美妙和简洁之处便在于在NP中，有一个子类，NP完全(NP Complete，简记为NPC)问题，指的是那些NP中最难的那些问题：所有其它的NP问题都可以归约到这些NP完全问题。也就是说，只要这些NP完全问题的某一个得到解决，无论是证明其存在多项式算法，还是不存在，都意味着P vs NP问题的解决。

而几乎所有NP里面无法确定是否属于P的问题最后都被证明为NP完全。正因为如此，多数理论计算机学家都猜测P≠NP。目前已知的NP完全问题数以千计，上面引用中的例子都是完全问题，更多NP完全问题见NP完全问题的不完全列表。

一个很自然的想法是如果NP≠P，则NP-P里面的问题都是完全问题。至少有两个自然的问题，一个是大数分解（给出一个数的质因数分解式），另一个是图同构问题（给出两个图，它们是否同构），它们既没有被证明是P的，也没有被证明是NP-完全。但是更惊人的是还有这个定理：

如果NP≠P，那么NP-P中存在非NP完全问题。

当然，这种问题具体是什么样子，是无法用直观的语言表示出来，它纯粹是一个数学上的构造性证明。

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