AI 时代，大脑容易退化。常常玩点数独有助于保持大脑运转。
1、一、我玩数独的体会
在 stream 上有两款数独，我都玩通了。一款是 Sudoku Universe，操作上省心很多——它自动显示备选项，会把不能填的数字过滤掉，不会犯错误；
另外一款，经典数独，不给任何辅助，玩一关的时间要长得多。
我一般就两步：先推理，再猜。推理推不动了，就猜。硬憋着推理往往更慢——难的题基本不可能纯靠推理一路推平。但猜也有讲究：要挑那种一填下去就能把别的位置定住的地方猜，否则需要连续猜会难很多。
我做的最难的一个题，猜了四个格子才完成。其中有二次还猜错了需要回退。
玩了这么多，对什么数独最难很感兴趣。让 AI 查了一下，就是这篇文章。
2、二、提示数最少： 17 个
最直观的想法是：初始给的数字越少越难。顺着这个思路问下去就是——最少能给几个数字，还能保证唯一解？
2012 年，三位爱尔兰数学家花了 710 万 CPU 小时证明：16 个提示数不可能有唯一解。所以下限是 17 个。目前已知的非等价 17 提示题有 49151 道。
提示数少，不等于难。比如上面这个例子其实非常容易，只用简单推理就能一路填完。
3、三、平凡化率：给两个媒体口径的「世界最难」
那什么才叫难？数独社区发明了一个指标叫平凡化率，直觉理解就是：我随便挑两个空格、把正确答案填进去，剩下的用简单方法就能解出来的可能性有多大？
具体做法：数出题目所有空格，把两两组合全列出来（大概一千多组）；每一组都试一次——把这两格的答案直接填上，看剩下的是不是基础推理就能推完。能推完的组合数 ÷ 组合总数 = 平凡化率。这个比例越高，说明捷径出口越多，题越容易；比例越低，说明从哪儿下手都救不了场。
芬兰数学家 Arto Inkala 有两道题被媒体称作「世界最难」，它们正好是这个指标的代表。
AI Escargot （ 2006 ）： AI 是他姓名首字母， escargot 是法语「蜗牛」——给定的数字在盘面上排成蜗牛壳的形状。23 个提示数，平凡化率 5.0%。
Inkala 2012：六年后他又发了一道，设计耗时三个月， Daily Telegraph、The Sun 都报道过。媒体说它给了 23 个提示数，我数下来是 21 个。平凡化率 4.5%（ 1770 组里只有 79 组能两格破题）。流传最广的一条记录是有人试了 153 次、前后两个月才做出来。
补充一句：这个指标还能再往下走。数独程序员 David Filmer 造过一批纯为「折磨求解器」的题，编号 Unsolvable ，Unsolvable #28 的平凡化率只有 0.53%——1711 组两格组合里，只有 9 组能让你「填两格就通关」。我实测：基础推理在它上面一格都推不动。
4、四、SE 评分：取解题路上最难的那一步
上面那个指标是「有多少捷径」。另一个更通用的评分叫 SE 评分（ Sudoku Explainer Rating ），思路完全不同：它把解题过程一步一步走一遍，看这条路上最难的那一步有多难，取那个难度值当分数。
注意它量的是门槛，不是步数：做 100 步隐性唯一和做 10 步隐性唯一，分数一样。每个技巧有个固定分值，逐级往上：
最后一行的公式来自 Sudoku Explainer 源码：难度 = 8.5 + 0.5× 嵌套层数，再加链条长度补偿。报纸上的题一般在 3.0 以下。
给个具体例子就明白了。实测 Escargot ：基础推理只能填 1 格 就卡住（还剩 57 格）；此时盘面上候选最少的格是 r2c3 ，它有两个候选（ 4 和 6 ）——这种「二选一」的格子正是高级技巧的入口，下一步必须上阵列或链，所以它的 SE 评分远高于报纸题。
Inkala 2012 更极端：基础推理一格都推不动，还剩 60 格，候选分布是 25 个格有 4 个候选、20 个格有 5 个候选——盘面又空又乱，直接跳到链条级别。
那 11.9 分长什么样？看这道 Golden Nugget， 2007 年 1 月由网友 Tarek 发布，被很多来源认为是世界最难：
21 个提示数，看着不吓人，但基础推理在它上面一格都推不动。SE 要解它，得动用 4 层嵌套强迫链，把链路长度也折算进去，才刚好够到 11.9。顺便说一句：11.9 至今仍是 SE 的封顶分，社区总共只找到 10 道达到这个分数的题。
SE 评分有个天花板问题：封顶 11.9。达到 11.9 的题有一大堆，分不出高下。所以后来有人另立尺子——下一节说。
5、五、试错深度：最直观的尺子
我觉得最直观的衡量方式是这个：先用简单推理填，填不动了就猜一个，再简单推理，再猜一个，这样循环下去，需要多少层才能把整题推平？ 这比前面那些指标都更贴近人的实际感受。
但要小心，这个「层数」有两种算法，差别很大：
● 最优层数：假设有一个先知，每次都猜在最优位置上。这是理论下限。
● 单路径层数：不许回头，一路猜下去，一般是猜候选项最少的格子。这更像普通玩家，你按一个固定的策略走到底，就是这么多层。
我用求解器把上面几道题都量了一遍（猜测时都猜正确答案，即模拟「手感好」的玩家）：
两道难题的层数相差 4–6 倍，差别就在「能不能回头」。
这些难题猜一格之后，基础推理往往只能再推进一格就又卡住了。这就是它们和普通难题的本质区别——普通难题你猜对一个关键格，整盘会连锁崩塌；而这几道题，你猜对一格，盘面纹丝不动。
这个直觉和「猜要挑能定住全局的地方」完全一致：猜的价值不在于猜对，而在于猜完之后能推出多少。平凡化率量的正是这件事，试错深度量的则是要重复多少次。
6、六、混沌尺度：把解题过程当成物理系统
2012 年，两位物理学家在 Nature 子刊发了一篇《数独中的混沌》：他们把数独转成一组连续时间的微分方程，用解微分系统的方式解题，然后量这个系统收敛要花多久——收敛越慢，说明盘面越「纠缠」。这个指标叫 η ，思路和地震的里氏震级一样：容易的题 0<η≤1 ，中等 1<η≤2 ，难 2<η≤3 ，超难 η>3。
他们测了五道公认最难的题（ Platinum Blonde、Golden Nugget、Red Dwarf、coly013、tarx0134 ），其中最难的叫 Platinum Blonde，η = 3.5789，是目前测到的最高值。论文顺便给了它的其他参数：转成 SAT 问题后 257 个变量、2085 条约束； 21 个提示数，却比 34 个提示数的简单题难得多。
顺带说一句它的来历：这道题 2009 年 1 月由一位网名 eleven 的数独设计者发在数独玩家论坛上。它特别能说明「提示数少不等于难」这条规则的反面——21 个提示数听起来很「宽松」，难度却是超难级。
7、七、所以，哪种「最难」？
● 提示数最少： 17 个，但这类题不一定难；
● 平凡化率最低： Unsolvable #28 ， 0.53%，几乎没有捷径出口；
● SE 评分最高： 11.9 封顶， Golden Nugget、Platinum Blonde 都在这一档；
● 混沌尺度最高： Platinum Blonde ， η=3.5789 ，物理意义上收敛最慢；
● 试错深度最深：最优 2–3 层、单路径 6–13 层——差距全看你能不能回头。
上面这些例子，大家可以尝试挑战一下 :)
Q. E. D.
