系列： 数学之美
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在群里有人讨论了一个问题：一个序列$A_k$，其中$A_1=1$，后面的每个$A_n$是前面的$A_k$和$A_k+k$里未出现的最小的正整数。问$A_k$的通项公式。
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这个题目是当年北大概率课上陈大岳老师出的练习题目，当时是一个简单情形，球上 4 个点组成的四面体包含球心的概率。最近在 MITBBS 上看到又有人提及。我在这里写一下解答。
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利用线性代数可以给某些问题很精妙的证明，Matrix67 就给出了一个这样的例子，这也让我想起以前看见的另外一个例子，分享如下：
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写篇三门问题的终结版。欢迎补充材料。
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"Good mathematics" could refer (in no particular order) to
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珍爱生命，远离政治。今天我们讨论一个数学问题。
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在这个游戏的开头，我们设想自己要参加一个电视游戏大奖赛。规则呢，是这样。我们有 n 个人，作为一个小组来参加游戏。游戏中，主持人会给我们每人头上戴一顶帽子。帽子有黑白两种颜色，可以认为它们在我们各自头上的分布是临时随机决定的。小组中的每一个人，可以看到其他人的帽子颜色，但不知道自己的帽子颜色。每个游戏成员都被要求回答自己帽子的颜色。我们各人面前有三个按钮，可以选择「黑色」「白色」或「弃权」(也就是 pass ，不作猜测的意思)。小组成员彼此之间没有任何信息交流，他们必须各自独立地作出自己的选择，并且谁也不知道其他人的选择。如果小组成员全部选择了 pass ，也就是每个人都弃权，则他们输了；如果有小组成员作出了明确的猜测，但某个人猜错了，则结果也是输。只有当小组中有人做出猜测，并且每个做出猜测的人都猜对了，他们才能获胜，一起获得最后的大奖。
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本文将证明：最佳约会策略里提到策略，忽略前 37%的对象，然后在剩下的对象里挑第一个比前 37%都好的对象，这个策略是最优的。更准确地，我们将证明：任何约会策略的成功概率都不可能超过$ \frac{u}{n}\sum_{i=u}^{n-1}\frac1i$ ，其中$ u$ 为满足$ \sum_{i=u}^{n-1}\frac1i\geq 1$ 的最大值。这个$ u$ 大约为 37%，最后成功的概率大约为 40%。
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来自University of Warwick的Mike Paterson星期二在 Yao 的理论计算机课堂上给了一个非常有趣的小讲座。
