这个题目是当年北大概率课上陈大岳老师出的练习题目，当时是一个简单情形，球上 4 个点组成的四面体包含球心的概率。最近在 MITBBS 上看到又有人提及。我在这里写一下解答。
这个题目事实上是 1962 年 J.G. Wendel 发表于 Math. Scand 的论文A problem in geometrical probability。论文给出了一个更一般性的结论： d-维空间的单位球面上随机分布的 N 个点，全在同一个半球上的概率是：
$$\begin{equation}\text{P}_{d,N} = 2^{-N+1}\sum_{i=0}^{d-1}{N-1\choose i}\label{ans}\end{equation}$$
不过我很不喜欢这篇文章的证明过程。在这篇论文证明的基础上，可以抽象出来另外一种方法，我觉得更接近于问题的本质：
首先随机抽取$ N$ 个点$ x_1,\cdots,x_N$ ，考虑它们在球面上的对称点。在这$ N$ 对对称点各取其一，一共有$ 2^{N}$ 种取法。我们下面将这些取法当成样本，计算这里面有多少个样本满足$ N$ 个点都在同一个半球上。不考虑发生概率为 0 的边界情况，对于任何一个半球，恰好有一个样本满足所有点都在这半个球面上。接下来我们只需要计算有多少个不同的半球，对应不同的样本。
半球与球面上的点有一一对应关系，这一点是这个半球的「极点」。以$ x_i$ 为垂线，经过圆心画一个平面(d-1 维)，一共形成$ N$ 个平面。这些平面将球面划分为若干个区域。很容易发现，对于同一个区域的点所对应的半球，都包含同一个样本；不同区域的点对应的半球，则包含不同的样本。
这就是说位于同一个半球的样本数量等于$ N$ 个经过球心的$ d-1$ 维平面将球面划分的区域的数量，即$ 2\sum_{i=0}^{d-1}{N-1\choose i}$ 。从而可得最终的结论(\ref{ans})。
Q. E. D.
