球面上随机N个点在同一个半球上的概率

作者:
系列:数学之美

查看该系列所有文章

这个题目是当年北大概率课上陈大岳老师出的练习题目,当时是一个简单情形,球上 4 个点组成的四面体包含球心的概率。最近在 MITBBS 上看到又有人提及。我在这里写一下解答。

这个题目事实上是 1962 年 J.G. Wendel 发表于 Math. Scand 的论文 A problem in geometrical probability 。论文给出了一个更一般性的结论: d-维空间的单位球面上随机分布的 N 个点,全在同一个半球上的概率是:

$$\begin{equation}\text{P}_{d,N} = 2^{-N+1}\sum_{i=0}^{d-1}{N-1\choose i}\label{ans}\end{equation}$$

不过我很不喜欢这篇文章的证明过程。在这篇论文证明的基础上,可以抽象出来另外一种方法,我觉得更接近于问题的本质:

首先随机抽取 \( N\) 个点 \( x_1,\cdots,x_N\) ,考虑它们在球面上的对称点。在这 \( N\) 对对称点各取其一,一共有 \( 2^{N}\) 种取法。我们下面将这些取法当成样本,计算这里面有多少个样本满足 \( N\) 个点都在同一个半球上。不考虑发生概率为 0 的边界情况,对于任何一个半球,恰好有一个样本满足所有点都在这半个球面上。接下来我们只需要计算有多少个不同的半球,对应不同的样本。

半球与球面上的点有一一对应关系,这一点是这个半球的「极点」。以 \( x_i\) 为垂线,经过圆心画一个平面(d-1 维),一共形成 \( N\) 个平面。这些平面将球面划分为若干个区域。很容易发现,对于同一个区域的点所对应的半球,都包含同一个样本;不同区域的点对应的半球,则包含不同的样本。

这就是说位于同一个半球的样本数量等于 \( N\) 个经过球心的 \( d-1\) 维平面将球面划分的区域的数量,即 \( 2\sum_{i=0}^{d-1}{N-1\choose i}\) 。从而可得最终的结论(\ref{ans})。

Q. E. D.

系列: 数学之美 »
利用线性代数可以给某些问题很精妙的证明, Matrix67 就给出了一个这样的例子 ,这也让我想起以前看见的另外一个例子,分享如下:
【提示: GIF 动画图片较大,有时需等会儿才能显示动画效果。】
数学 » 赌博
何时适合而止 中,我们提到一个有趣的硬币问题,抛一个硬币,选择合适的时点,使得正面数与总次数的比值最大。这个问题目前还没有被完全解决,之前我们 也只是用模拟法逼近了一下结果
后一篇:
经济金融 » CFA, FRM
今年我幸运地通过 CFA 和 FRM 的最后一次考试,顺利结束 CFA 和 FRM 的考试之旅。下面是对这两个考试的介绍和我的一些想法。