球面上随机 N 个点在同一个半球上的概率

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系列:数学之美

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这个题目是当年北大概率课上陈大岳老师出的练习题目,当时是一个简单情形,球上 4 个点组成的四面体包含球心的概率。最近在 MITBBS 上看到又有人提及。我在这里写一下解答。

这个题目事实上是 1962 年 J.G. Wendel 发表于 Math. Scand 的论文A problem in geometrical probability。论文给出了一个更一般性的结论: d-维空间的单位球面上随机分布的 N 个点,全在同一个半球上的概率是:

$$\begin{equation}\text{P}_{d,N} = 2^{-N+1}\sum_{i=0}^{d-1}{N-1\choose i}\label{ans}\end{equation}$$

不过我很不喜欢这篇文章的证明过程。在这篇论文证明的基础上,可以抽象出来另外一种方法,我觉得更接近于问题的本质:

首先随机抽取\( N\) 个点\( x_1,\cdots,x_N\) ,考虑它们在球面上的对称点。在这\( N\) 对对称点各取其一,一共有\( 2^{N}\) 种取法。我们下面将这些取法当成样本,计算这里面有多少个样本满足\( N\) 个点都在同一个半球上。不考虑发生概率为 0 的边界情况,对于任何一个半球,恰好有一个样本满足所有点都在这半个球面上。接下来我们只需要计算有多少个不同的半球,对应不同的样本。

半球与球面上的点有一一对应关系,这一点是这个半球的「极点」。以\( x_i\) 为垂线,经过圆心画一个平面(d-1 维),一共形成\( N\) 个平面。这些平面将球面划分为若干个区域。很容易发现,对于同一个区域的点所对应的半球,都包含同一个样本;不同区域的点对应的半球,则包含不同的样本。

这就是说位于同一个半球的样本数量等于\( N\) 个经过球心的\( d-1\) 维平面将球面划分的区域的数量,即\( 2\sum_{i=0}^{d-1}{N-1\choose i}\) 。从而可得最终的结论(\ref{ans})。

Q. E. D.

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利用线性代数可以给某些问题很精妙的证明,Matrix67 就给出了一个这样的例子,这也让我想起以前看见的另外一个例子,分享如下:
【提示: GIF 动画图片较大,有时需等会儿才能显示动画效果。】
类似文章:
在这个游戏的开头,我们设想自己要参加一个电视游戏大奖赛。规则呢,是这样。我们有 n 个人,作为一个小组来参加游戏。游戏中,主持人会给我们每人头上戴一顶帽子。帽子有黑白两种颜色,可以认为它们在我们各自头上的分布是临时随机决定的。小组中的每一个人,可以看到其他人的帽子颜色,但不知道自己的帽子颜色。每个游戏成员都被要求回答自己帽子的颜色。我们各人面前有三个按钮,可以选择「黑色」「白色」或「弃权」(也就是 pass ,不作猜测的意思)。小组成员彼此之间没有任何信息交流,他们必须各自独立地作出自己的选择,并且谁也不知道其他人的选择。如果小组成员全部选择了 pass ,也就是每个人都弃权,则他们输了;如果有小组成员作出了明确的猜测,但某个人猜错了,则结果也是输。只有当小组中有人做出猜测,并且每个做出猜测的人都猜对了,他们才能获胜,一起获得最后的大奖。
"Good mathematics" could refer (in no particular order) to
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