平等赌局中选择结束时点带不来收益

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何时适合而止中,我们提到一个有趣的硬币问题,抛一个硬币,选择合适的时点,使得正面数与总次数的比值最大。这个问题目前还没有被完全解决,之前我们也只是用模拟法逼近了一下结果

最近有网友问了一个类似的问题。假设你有 100 元本钱,然后抛硬币,如果是正面就赚一块钱,反面就亏一块钱。你可以选择什么时候结束,但如果你本钱被赔光,游戏自动结束。问你有没有可能通过选择结束时间获得收益?

答案是没有。

假设有\( n\) 元本钱的时候,期望收益为\( f(n)\) 。我们可以证明对任何\( n\)\( f(n)=0\) ,即无论采取什么样的游戏结束策略,都还不如直接在最开始就结束。

我们可以看第一步,如果\( f(n+1)+f(n-1)>0\) ,那么可以选择抛一次硬币,此时\( f(n) = (f(n+1)+f(n-1))/2\) ;否则\( f(n)=0\)

另外显然有 \( f(n)\geq 0\) ,并且\( f(0)=0\) 。如果\( f\) 不恒等于 0 ,假设\( x\) 为第一个数,使得\( f(x)\neq 0\) 。根据上面的公式,可以得到:

$$\begin{eqnarray}f(t) &=& 0, &\ \forall 0\leq t< x \\f(t)&=&(t-x+1)f(x),& \ \forall t \geq x\end{eqnarray}$$

并且此时的停止策略为,当有硬币数低于 x 时就停止,否则就一直玩下去。但根据一维随机游走的常返性此时\( f(x)=-1<0\) ,矛盾。

这个结论意味着,如果单次投资的期望收益为 0 ,并且各次投资之间独立,那么无论怎么折腾,也不可能做出正收益

另注:赌博的最优策略里讨论了单次投资期望收益不为 0 的情景。

Q. E. D.

类似文章:
在 slashdot 上看到一篇科技新闻,两个数学家(其中一个来自于 MIT )和一个计算机学家,在 arXiv 上发表了一篇论文《HOW TO GAMBLE IF YOU』RE IN A HURRY》(PDF 版链接),是最近几天很热门的一条新闻。
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首先申明一下,赌博是不对的,下面的讨论也更多是理论性的。
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最近看到一个有趣的问题:
一个游戏:持续的抛一个均匀硬币,直到抛到出现反面为止,假设在之前你抛除了\( k\) 次正面,你将得到\( 2^{k+1}\) 次方这么多钱。
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Alice 和 Bob 两人玩一种硬币游戏。游戏在一个\( 2\times2\) 的棋盘上进行,棋盘上每个格子上都有一枚硬币。在每一回合, Alice 可以决定选择翻转某两枚或者一枚硬币,接着 Bob 可以选择将棋盘旋转 90 , 180 或者 270 度,也可以什么都不做。
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前两天贴出了一个硬币游戏,希望寻找一种胜利策略。这是一个非常有意思的题目,没事做的时候可以用来锻炼思考能力。我迫不及待的想在这里公布解答,因为我已经把它解决掉了。如果有人还想继续享受思考的乐趣,请飘至原问题
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\( n\) 枚硬币排成一排,两人轮流取,每人每次可取其中一枚或者相邻的两枚。
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注:来凑凑热闹,最先在槽边往事看到的,不过网上已经有相当多的讨论
最佳约会策略里,我们提到,如果有 100 个女孩可以顺序挑选,那么最好的方法是先看前 37 个,然后在剩下的女孩里选择当时最好的那个女孩,这样有接近 40%的概率挑选到最好的那个女孩。同时,不可能有更好的策略
某些人对绩效评估和分解不屑一顾,认为没必要那么复杂,不就比比谁赚的钱多就行了吗?问题没有那么简单。
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数学 » 概率, 数学之美
这个题目是当年北大概率课上陈大岳老师出的练习题目,当时是一个简单情形,球上 4 个点组成的四面体包含球心的概率。最近在 MITBBS 上看到又有人提及。我在这里写一下解答。