平等赌局中选择结束时点带不来收益

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何时适合而止 中,我们提到一个有趣的硬币问题,抛一个硬币,选择合适的时点,使得正面数与总次数的比值最大。这个问题目前还没有被完全解决,之前我们 也只是用模拟法逼近了一下结果

最近有网友问了一个类似的问题。假设你有 100 元本钱,然后抛硬币,如果是正面就赚一块钱,反面就亏一块钱。你可以选择什么时候结束,但如果你本钱被赔光,游戏自动结束。问你有没有可能通过选择结束时间获得收益?

答案是没有。

假设有 \( n\) 元本钱的时候,期望收益为 \( f(n)\) 。我们可以证明对任何 \( n\)\( f(n)=0\) ,即无论采取什么样的游戏结束策略,都还不如直接在最开始就结束。

我们可以看第一步,如果 \( f(n+1)+f(n-1)>0\) ,那么可以选择抛一次硬币,此时 \( f(n) = (f(n+1)+f(n-1))/2\) ;否则 \( f(n)=0\)

另外显然有 \( f(n)\geq 0\) ,并且 \( f(0)=0\) 。如果 \( f\) 不恒等于 0 ,假设 \( x\) 为第一个数,使得 \( f(x)\neq 0\) 。根据上面的公式,可以得到:

$$\begin{eqnarray}f(t) &=& 0, &\ \forall 0\leq t< x \\f(t)&=&(t-x+1)f(x),& \ \forall t \geq x\end{eqnarray}$$

并且此时的停止策略为,当有硬币数低于 x 时就停止,否则就一直玩下去。但根据一维随机游走的常返性此时 \( f(x)=-1<0\) ,矛盾。

这个结论意味着, 如果单次投资的期望收益为 0 ,并且各次投资之间独立,那么无论怎么折腾,也不可能做出正收益

另注: 赌博的最优策略 里讨论了单次投资期望收益不为 0 的情景。

Q. E. D.

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