在何时适合而止中，我们提到一个有趣的硬币问题，抛一个硬币，选择合适的时点，使得正面数与总次数的比值最大。这个问题目前还没有被完全解决，之前我们也只是用模拟法逼近了一下结果。
最近有网友问了一个类似的问题。假设你有 100 元本钱，然后抛硬币，如果是正面就赚一块钱，反面就亏一块钱。你可以选择什么时候结束，但如果你本钱被赔光，游戏自动结束。问你有没有可能通过选择结束时间获得收益？
答案是没有。
假设有$ n$ 元本钱的时候，期望收益为$ f(n)$ 。我们可以证明对任何$ n$ ，$ f(n)=0$ ，即无论采取什么样的游戏结束策略，都还不如直接在最开始就结束。
我们可以看第一步，如果$ f(n+1)+f(n-1)>0$ ，那么可以选择抛一次硬币，此时$ f(n) = (f(n+1)+f(n-1))/2$ ；否则$ f(n)=0$ 。
另外显然有 $ f(n)\geq 0$ ，并且$ f(0)=0$ 。如果$ f$ 不恒等于 0 ，假设$ x$ 为第一个数，使得$ f(x)\neq 0$ 。根据上面的公式，可以得到：
$$\begin{eqnarray}f(t) &=& 0, &\ \forall 0\leq t< x \\f(t)&=&(t-x+1)f(x),& \ \forall t \geq x\end{eqnarray}$$并且此时的停止策略为，当有硬币数低于 x 时就停止，否则就一直玩下去。但根据一维随机游走的常返性此时$ f(x)=-1<0$ ，矛盾。
这个结论意味着，如果单次投资的期望收益为 0 ，并且各次投资之间独立，那么无论怎么折腾，也不可能做出正收益。
另注：赌博的最优策略里讨论了单次投资期望收益不为 0 的情景。
Q. E. D.
