投资小问题

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系列:生活中的数学

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注:来凑凑热闹,最先在 槽边往事 看到的,不过网上已经有相当多的 讨论

你适合做投资吗?你适合与股票、债券、房地产或期货打交道吗?或者说,你适合接触金融市场吗?

其实与投资有关的大部分问题都是常识性问题。以下是三个大部分人都会弄错的常识性问题,中学文化水平已经足够答对,但是即使是博士毕业的人也经常弄错,其实本质上是思维方法的问题。

你会惊异的发现,即使在金融专业工作人士中,也有一半以上的人无法准确回答这三个问题。所以,如果你能够答对这三个问题,恭喜你,你至少有成为前一半金融家的潜力。

1. 问题一:

假设你和你的朋友 A 玩一个游戏。你们把钱包拿出来,放在桌面上,然后打开。如果你钱包里的钱比 A 多,你将把所有的钱输给 A。如果 A 的钱包里的钱比你多, A 将把所有的钱输给你。

假设你们事先都不知道对方带了多少钱,也不知道对方带钱和花钱的习惯。请问,你应该玩这个游戏吗?决定你参加游戏与否的因素是什么?

这个问题 我以前分析过 ,看上去很简单,零和博弈,双方对称,期望上来说肯定没得赚。但如果破解这种说法呢:赢的概率为 1/2 ,但每次都能以较少的钱赢较多的钱(身上有 100 块钱,赢了的话能赢多于 100 ,输只输 100 )。

谁能真正破解上面的说法才是做出了这个题目。

2. 问题二:

假设你是一个期货交易员,同时交易小麦和大豆。有一天,你生病了,不能去上班,但你很关心自己拥有大豆仓位价格有没有变化。于是,你打电话给自己的同事,询问价格是否上涨了。一开始,你的同事告诉你:「小麦和大豆至少有一个在上涨。」你感到很高兴。一分钟后,你的同事又告诉你:「小麦的价格在上涨。」

请问,与一分钟之前相比,小麦和大豆都在上涨的概率上升了还是下降了?

算条件概率:题目的意思应该是原来不知道任何信息,从而独立来看,每种东西的上涨概率都是一半。所以一分钟前, P(都上涨|至少一个上涨) = 1/3。一分钟后, P(都上涨|小麦在上涨) = 1/2。

所以都上涨的概率上升了。

3. 问题三:

假设下个星期一,美国中央银行和加拿大中央银行都要宣布新的货币政策:要么加息,要么保持利率不变。假设它们都已经事先保证不会减息。一个老练的债券交易员对你说:「我们来打赌吧!我敢打赌,明天两家央行公布的决定将是一样的。如果明天两家央行的货币政策方向不一样(即一个加息,一个保持不变),那么你从我这里赢得 1 万美元。如果明天两家央行的货币政策方向一样,那么我从你那里赢得 1 万美元。」

假设两家央行的决策是完全彼此独立的,而且不会受到先后次序的影响,请问你应该跟他打这个赌吗?为什么?

我们把它当成一个纯粹的概率题来看吧(我看到有人回答因为对方是一个老练的交易员,所以才不打赌,在这里我不考虑这种信息)。

如果两边决策是完全独立并且 同分布 ,假设为一个(p,1-p)的两点分布,那么我赢得概率只有 2p(1-p)<=1/2 ,所以这个赌是不能打的。

至于为何能假设同分布,似乎题目的意思就是这样。

关于投资,我也来出一个题目吧,有兴趣的想一想:

4. 问题四:

一个游戏:持续的抛一个均匀硬币,直到抛到出现反面为止,假设在之前你抛除了 k 次正面,你将得到 2 的 k+1 次方这么多钱。

问题:你愿意花多少钱来玩这个游戏?

我的答案在 这里

Q. E. D.

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这个问题有许多不同形式的阐述方式和变种,应用范围也很广。下面应该是比较吸引人和简单的那种,来自 姚期智 教授的理论计算机( I )的授课内容——我是其助教之一。
注:这篇文章是应 You XU 邀请的 guest blog。
间断的看完了朋友推荐给我的这本武侠小说。
为什么我们对于即将到来的事情,总是采取「什么都不做」的态度,即使这件事有非常大的收益?