小游戏中直觉和理论的悖论

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一个游戏:持续的抛一个均匀硬币,直到抛到出现反面为止,假设在之前你抛除了 \( k\) 次正面,你将得到 \( 2^{k+1}\) 次方这么多钱。

问题:你愿意花多少钱来玩这个游戏?

直觉上而言,一个人不可能愿意花 1000 块钱来玩这个游戏。但从概率上分析,将有 \( 1/2^{k+1}\) 的概率得到 \( 2^{k+1}\) 的钱,也就是你每次得到的钱的期望是无穷大( \( k=0,1,2,\cdots\) 有无穷大取值)。也就是说从数学上而言,你值得为这个游戏花上任意多的本钱,比如说 1000 块钱。

几点可能的原因:

  • 金钱的效应原因:在钱多到一定数量的时候,钱数本身已经失去了意义,比如说赢了 \( 2^{100}\) \( 2^{101}\) 的钱对于个人而言产生的效应是一样的,但是在期望计算中,后者的分量还是前者的两倍。比如说人能够承受的钱的最高数量是 \( 2^{40}\sim 10000,0000,0000\) (已经世界首富了),也就是说此时游戏的实际期望只有 42 块钱,也就是说这个游戏只值得用 42 块钱来玩。
  • 庄家破产:实际游戏中,庄家能给的钱是有限的,比如庄家最高能给 1 个亿,那么这个问题转为有限期望的游戏,价值为 \( \log 10e8\) ,大约为 27。
  • 无穷现金的庄家:在这个游戏里面,假设了庄家有足够的现金。如果你有无穷的现金,可以多次博弈,那么就能接受更高的价格(这其实也是一种风险规避,和第一点有相通之处)。

以上几点是我想到的可能原因,也许不一定对,希望有兴趣的朋友继续讨论。

Q. E. D.

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