一个游戏：持续的抛一个均匀硬币，直到抛到出现反面为止，假设在之前你抛除了$ k$ 次正面，你将得到$ 2^{k+1}$ 次方这么多钱。
问题：你愿意花多少钱来玩这个游戏？
直觉上而言，一个人不可能愿意花 1000 块钱来玩这个游戏。但从概率上分析，将有$ 1/2^{k+1}$ 的概率得到$ 2^{k+1}$ 的钱，也就是你每次得到的钱的期望是无穷大($ k=0,1,2,\cdots$ 有无穷大取值)。也就是说从数学上而言，你值得为这个游戏花上任意多的本钱，比如说 1000 块钱。
几点可能的原因：
- 金钱的效应原因：在钱多到一定数量的时候，钱数本身已经失去了意义，比如说赢了$ 2^{100}$ 和$ 2^{101}$ 的钱对于个人而言产生的效应是一样的，但是在期望计算中，后者的分量还是前者的两倍。比如说人能够承受的钱的最高数量是$ 2^{40}\sim 10000,0000,0000$ (已经世界首富了)，也就是说此时游戏的实际期望只有 42 块钱，也就是说这个游戏只值得用 42 块钱来玩。
- 庄家破产：实际游戏中，庄家能给的钱是有限的，比如庄家最高能给 1 个亿，那么这个问题转为有限期望的游戏，价值为$ \log 10e8$ ，大约为 27。
- 无穷现金的庄家：在这个游戏里面，假设了庄家有足够的现金。如果你有无穷的现金，可以多次博弈，那么就能接受更高的价格（这其实也是一种风险规避，和第一点有相通之处）。
以上几点是我想到的可能原因，也许不一定对，希望有兴趣的朋友继续讨论。
Q. E. D.
