换还是不换?

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系列:头脑风暴

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最有名的关于换还是不换的问题是 三门问题 ,已经 被研究得比较透彻 。这里想说的是另外一个悖论。

1. 换还是不换(一)

我以前 提到过这个问题

假设你碰到一个精灵。精灵拿出两个钱袋,并告诉你其中一个钱袋的钱数是另外一个钱袋的两倍。

你随机挑选了一个钱袋,发现其中有 \( x\) 块钱。接下来,精灵给你一个换钱袋的机会。你会想,另外一个钱袋的钱要么是 \( \frac{x}{2}\) 块钱,要么是 \( 2x\) 块钱,平均看是 \( \frac12\frac{x}{2}+\frac122x = \frac{5x}{4}\) 块钱。显然,换成另外一个钱袋会更划算一些。

但问题是,如果你一开始就选择了另外一个钱袋,你会使用一样的逻辑,发现换成现在这个钱袋更划算一些。问题出在哪里呢?

我之前给出的解释是:假设 \( P(a)\) 为两个钱袋的钱为 \( a\)\( 2a\) 的概率。那么上面推理中,另外一个钱袋的期望钱数是 \( \frac12\frac{x}{2}+\frac122x = \frac{5x}{4}\) ,当且经当 \( P(x)=P(2x)\) 。而对任意 \( x\) 都满足该式的概率分布并不存在,否则选择一个 \( a\) 使得 \( P(a)\neq 0\) ,则

$$1\geq P(a)+P(2a)+P(4a)+\cdots = P(a)\times\infty = \infty$$

矛盾。

2. 换还是不换(二)

我以前以为,上面这个问题已经被彻底解决。但最近阅读的《蚁迹寻踪及其他数学探索》提到了一个类似的问题,这个问题说明上面的答案还不是问题的本质。

假设这次换了一个精灵,这个精灵给的两个钱袋,其中一个钱袋钱数是另外一个钱袋的三倍。并且,精灵按照确定的概率分布来放钱,其中钱较多的钱袋钱数为 \( 3^k\) 的概率恰好是 \( 2^{-k}\) ,其中 \( k=1,2,3,\cdots\)

同样,你选择了一个钱袋,然后精灵给了你一个选择换另外一个钱袋。如果你拿到的钱袋里只有 1 块钱,另外一个钱袋里肯定是 3 块钱,你必然会选择换成另外一个钱袋。假设你的钱袋里有 \( x\) 块钱,且 \( x>1\) 。那么根据精灵放钱的概率分布,另外一个钱袋有 \( \frac23\) 的概率为 \( \frac{x}{3}\) ,有 \( \frac13\) 的概率为 \( 3x\) ,也就是说,期望值是 \( \frac{11x}{9}\)

这样,你会发现,无论如何,你都应该换成另外一个钱袋。

但问题是,如果你一开始就选择了另外一个钱袋,你会使用一样的逻辑,发现换成现在这个钱袋更划算一些。问题出在哪里呢?

【悲剧了,原来我以前就写到过这个问题,而且写得更清楚,见 双信封悖论和围城效应 。】

Q. E. D.

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