最有名的关于换还是不换的问题是三门问题，已经被研究得比较透彻。这里想说的是另外一个悖论。
1、换还是不换(一)
我以前提到过这个问题。
假设你碰到一个精灵。精灵拿出两个钱袋，并告诉你其中一个钱袋的钱数是另外一个钱袋的两倍。
你随机挑选了一个钱袋，发现其中有$ x$ 块钱。接下来，精灵给你一个换钱袋的机会。你会想，另外一个钱袋的钱要么是$ \frac{x}{2}$ 块钱，要么是$ 2x$ 块钱，平均看是$ \frac12\frac{x}{2}+\frac122x = \frac{5x}{4}$ 块钱。显然，换成另外一个钱袋会更划算一些。
但问题是，如果你一开始就选择了另外一个钱袋，你会使用一样的逻辑，发现换成现在这个钱袋更划算一些。问题出在哪里呢？
我之前给出的解释是：假设$ P(a)$ 为两个钱袋的钱为$ a$ 和$ 2a$ 的概率。那么上面推理中，另外一个钱袋的期望钱数是$ \frac12\frac{x}{2}+\frac122x = \frac{5x}{4}$ ，当且经当$ P(x)=P(2x)$ 。而对任意$ x$ 都满足该式的概率分布并不存在，否则选择一个$ a$ 使得$ P(a)\neq 0$ ，则
矛盾。
2、换还是不换(二)
我以前以为，上面这个问题已经被彻底解决。但最近阅读的《蚁迹寻踪及其他数学探索》提到了一个类似的问题，这个问题说明上面的答案还不是问题的本质。
假设这次换了一个精灵，这个精灵给的两个钱袋，其中一个钱袋钱数是另外一个钱袋的三倍。并且，精灵按照确定的概率分布来放钱，其中钱较多的钱袋钱数为$ 3^k$ 的概率恰好是$ 2^{-k}$ ，其中$ k=1,2,3,\cdots$ 。
同样，你选择了一个钱袋，然后精灵给了你一个选择换另外一个钱袋。如果你拿到的钱袋里只有 1 块钱，另外一个钱袋里肯定是 3 块钱，你必然会选择换成另外一个钱袋。假设你的钱袋里有$ x$ 块钱，且$ x>1$ 。那么根据精灵放钱的概率分布，另外一个钱袋有$ \frac23$ 的概率为$ \frac{x}{3}$ ，有$ \frac13$ 的概率为$ 3x$ ，也就是说，期望值是$ \frac{11x}{9}$ 。
这样，你会发现，无论如何，你都应该换成另外一个钱袋。
但问题是，如果你一开始就选择了另外一个钱袋，你会使用一样的逻辑，发现换成现在这个钱袋更划算一些。问题出在哪里呢？
【悲剧了，原来我以前就写到过这个问题，而且写得更清楚，见双信封悖论和围城效应。】
Q. E. D.
