李祥林摧毁华尔街的模型

2001 年， Journal of Fixed Income 上有篇论文题为On Default Correlation: A Copula Function Approach。这篇文章引入了衡量违约概率和违约相关性的模型，后来被交易员和评级公司广泛应用于 CDO 的定价和评级。2008 年该类产品的崩溃形成了次贷危机，也让其背后的作者李祥林声名大振。有人认为他是导致美国次贷危机的罪魁祸首，比如wired和金融时报都刊登了专栏报道，里面有相当多的八卦，我这篇文章的标题也是借用这些报导的标题。

我在这里主要介绍下其中的技术性细节，即李祥林在论文里到底说了什么。

1、违约相关性是什么和它为什么重要

李祥林这篇论文主要介绍了衡量违约概率和违约相关性的模型。违约概率比较容易被理解。这里主要说下违约相关性。

违约相关性，是指不同实体或者证券违约事件的相关性。某些公司之间的违约相关性很高，比如中国钢铁企业大面积破产的话，必和必拓这些铁矿石厂商也会不好过。还有一些情况就不那么容易分析，某些看似没有关系的实体之间也存在联系，比如俄罗斯和墨西哥的国债相关性有多大？在通常情况下，其相关性很小。但由于国际市场越来越整体化，俄罗斯和墨西哥的债券是同一批买家。当其中一个国家违约时，投资者会恐慌性抛售另外一个国家的国债，使得违约相关性急剧增加。1998 年，长期资本管理公司就遇到了这种情况。由于受到国际宏观因素的影响，一般不同实体之间都有一些正相关关系。

另外值得一提的是相关性和相关系数的区别。相关系数只是衡量相关性的一个指标，它损失了很多相关信息。但下面将提到，李祥林使用 Copula 的概念，又只用了相关系数就刻画了相关性。

随着信用衍生品市场的发展，违约相关性的度量变得越来越重要：

• 在衡量投资组合的风险时，需要将组合当作一个整体。不同头寸之间的相关性将影响到组合整体的风险。
• 在购买 CDS 保护时， CDS 的卖方与 CDS 的标的企业相关性对 CDS 的价值有影响。比如如果该相关性很大的话，当标的企业破产， CDS 的卖方也很可能破产了，这样 CDS 买方很可能得不到赔偿，从而该合约的价值比相关性低的卖方提供的 CDS 价值小。
• 市场对一篮子 CDS 进行分层交易，比如 50 个公司的 CDS ，那么可以购买 3%到第 7%的票面损失的保护。即该分层 CDS 的买方得不到这一篮子公司的前 3%的违约损失，并且最多得到票面金额的 4%的赔偿。这里事实上就是在交易信用相关性。
• CDO （债务抵押证券）和上面的 CDS 分层交易是相同的思路，不同的 Tranche 依次吸收信用风险（实际情况比这个更复杂），相关性的变动对各个级别的定价和评级影响非常大。CDO 的评级和定价也是李祥林的模型主要被使用的地方。

李祥林提出的方法非常简单直接，后来成为上述问题，特别是 CDO 的评级的标准解决方法。标普和穆迪借助该方法，将无数 CDO 评成了 AAA 推向了市场。这些资产最终在 2008 年崩溃，连带着李祥林被认为是造成美国次贷危机的罪魁祸首。

2、李祥林之前的处理方法

在李祥林发表论文之前，市场上主要使用评级公司的评级和历史统计样本数据。先确定各个证券的评级，然后利用评级公司公布的数据来计算违约率和相关性。

相对李祥林后来提出的利用当时市场价格，使用评级公司的数据存在一些问题：

• 评级公司的评级存在滞后效应。
• 评级主要被用来确定违约率。但在计算信用风险时同时还需要确定回收率。
• 使用评级的数据忽略了公司的个体差异。
• 评级公司对一年期的数据公布比较详细，而其它期限的数据不齐全，从转移矩阵推算出来的数据会不准确。
• 资产组合基础产品以市场计价，所以基于这些产品的衍生品也应当与市场价相应变动。单独使用评级数据达不到这个效果。

3、李祥林的处理方法

李祥林对这两个问题都提出了简单的处理方式，事实上成为了后来交易员和评级公司处理 CDO 等资产的标准方法。

3.1、违约概率的估计

李祥林提出，应该从市场价格来推算违约率。这里的市场价格指 CDS 利差、资产互换利差、债券价格、Metro 模型等。这些都是比较正常的想法，没什么太大问题，直到现在大家也在一直这么做。而且我觉得，在 2000 年之前，大家就已经就这么做了。

3.2、用 Copula 刻画违约时间相关性

李祥林的论文的主要贡献是在对违约相关性的估计上。但在了解他的解决方法之前，我们首先需要了解 Copula 这个概念。Copula 是对多元随机变量相关性的刻画。假设随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n$ 的分布函数分别是$F_1,F_2,\cdots,F_n$ ，其联合分布函数为$F$ 。这里$F_i$ 也可以看作是$F$ 的边际分布。不妨设$F_i$ 为连续严格递增函数(该条件不是必需的)，那么该$n$ 元联合分布的 Copula 为：

Copula 完整刻画了随机变量之间的相关性关系（注意它涵盖的信息比相关系数要大得多）。显然，对于一个 Copula ，给定各个随机变量的边际分布函数，我们也可以定义一个联合分布：

我们在计算 VaR 的时候常用联合正态分布，这是因为风险因子基本上属于正态分布。但单个资产的违约时间并不是这样，更合理的分布是指数分布。这时候 Copula 就派上了用场。无论单个资产的违约时间的分布是什么样子，它们之间的相关性都可以用相同的 Copula 来刻画。比如我们假设它们的 Copula 就是正态分布 Copula （也被称为高斯 Copula ），这时候我们就将问题简化成它们之间的相关系数。对于两个资产，这只需要一个参数。这也是Wired 的报导中多次提到的李祥林用一个数$\rho$ 来刻画违约相关性：

其中$\Psi_\rho$ 是相关性为$\rho$ 的联合正态分布。这可以看出，利用边际分布和 Copula 可以拟合更复杂的联合分布，而不会增加需要拟合的参数数量。

网络上有些文章说李祥林发明了 Copula ，这显然是错误的。Copula 至少有 50 年以上的历史。在李祥林出生以前，它就是用来处理相关性的基本模型。李祥林只不过是第一个提出用它给衡量金融违约事件的相关性。

3.3、对违约相关性的处理

李祥林的一个核心思路是，违约相关性可以用 Copula 来处理。剩下来的工作则是如何生成该 Copula ，或者说如何确定该 Copula 的参数。这时候方法并不一定。比如如果选择使用正态分布的 Copula ，需要估计该分布的协方差矩阵，这可以通过计算标的资产的相关性来获得，就跟将全部资产看作一个联合正态分布是一样的。

李祥林给的例子是使用正态分布的 Copula。此时将问题从相关关系简化为相关系数。而相关系数可以直接从历史价格数据中获得。

4、论文里没有完成的工作

单看李祥林的论文，我认为至少有两个重要的工作没有完成。其一是没有说明使用正态分布 Copula 的合理性；其二是没有说明相关性的时变性的严重程度。而这两个地方都很重要，可以说是后来模型和市场实际表现脱节的主要原因：

1. 虽然李祥林列出了几种 Copula ，但正态 Copula 是其中最容易被理解和计算的。李祥林给的例子也是使用正态 Copula。因此，后来交易员和评级公司基本上是使用正态 Copula。
2. 相关性的时变性是指相关性并不是静态的，而会随着时间和市场变化。这是一个更严重的问题。2008 年的次贷危机证明，当某些产品出现危机时，其它产品与它们的相关性会大大增加，从而使得某些衍生品的风险大大增加。在计算日度和周度风险时，不太需要考虑这个问题，因为变动是连续的，可以预期几天之内变化不大。但如果要进行长期和全周期评估时，相关性的时变性必须考虑在内。要么说明时变性不重要；要么在模型里面加入时变性。但在李祥林这篇论文里，这两点都没有被提到。

5、参考资料

1. Li, David X. (2000). "On Default Correlation: A Copula Function Approach". Journal of Fixed Income
2. Salmon, Felix (March 2009).  "Recipe for Disaster: The Formula That Killed Wall Street". Wired.com
3. Jones, Sam (April 24, 2009).  "The formula that felled Wall St". Financial Times

Q. E. D.