1、相关指标
1.1、ES ( Expected shortfall )
VaR 衡量一个投资的收益的分位点,衡量未来在一定概率上的损失情况,但某些时候还不够,比如说卖出一个深度价外期权,它的 VaR 为 0 ,但这不代表它没有风险。这类风险被称为尾部风险,可以用 ES 来衡量。
简单说来, ES 指位于超出 VaR 的损失的的条件期望。假设 X 为预期收益,则:
除了 ES 外,它还有若干个称呼,比如 Conditional VaR ,平均 VaR ( average value at risk ),尾部风险( expected tail loss )。
ES 除了可以衡量其厚尾风险外,还有一个更重要的特征,它具有半可加性,即对于两个组合$ P_1$ 和$ P_2$ ,
这个特征使得对于一个大范围的风险限制可以分解到子单位上,只需要控制一个公司各个部门的 ES ,即控制了整个公司的 ES。但 VaR 无法做到这一点,更详细的讨论见VaR :存在问题和应对方法(未完成)。
1.2、VaR 的细分
一个组合由多个小组合或头寸组成,比如一个公司整体资产组合由各个部门的组合构成,一个组合也可以由不同类型的资产组成。其中小组合的风险可以用它本身的 VaR 衡量,但这样就忽略了和组合其它资产的相关性。更好的指标是增量 VaR 和成分 VaR ,用来衡量组合的一部分如何影响整个组合的风险。
首先定义一些符号,一个资产组合在第$ i$ 个头寸上的暴露市值为$ w_i$ ,那么其 VaR 可视为$ w_i$ 的函数:$ \text{VaR}= \text{VaR}(w_1, w_2, \cdots, w_n)$ 。
1.2.1、增量 VaR ( Incremental VaR )
增量 VaR ,是指当一个头寸加入到组合时,新增的 VaR ,或者说,从原组合删去一个头寸,所减少的 VaR。
增量 VaR 提供了很多信息。如果增量 VaR 小于 0 ,表明新交易降低了风险,即为「对冲交易」。当想知道平掉哪个头寸可以最大限度消除 VaR 值,就从各个头寸的增量 VaR 入手。
但需要注意的是,各个头寸的增量 VaR 之和并不一定等于总 VaR。
1.2.2、边际 VaR ( Marginal VaR )
边际 VaR ,是 VaR 对于单个头寸暴露市值的敏感性,亦即
在实际计算中,通常使用
用模拟法计算 VaR 时,边际 VaR 有更简单的方法获得,具体参考下面成分 VaR 的计算方法。
当投资者想减仓固定金额,同时想降低尽量多的风险时,他便可以选取边际 VaR 最大的头寸进行操作。另外,边际 VaR 还是一个中间指标,用来计算下面的成分 VaR。
边际 VaR 与该头寸相对于该组合的 Beta 相关:
1.2.3、成分 VaR ( Component VaR )
成分 VaR 等于每个头寸的暴露市值与其边际 VaR (敏感性)的乘积:
由于$ VaR$ 是齐次函数,即对于任意$ k$ ,均有
上式两边在$ k=1$ 处对$ k$ 求导数,便有
这说明成分 VaR 是组合整体 VaR 的一种分解方式,代表每个头寸对于总风险的贡献值。事实上,这个分解在任何一个层面上成立。比如一个股票的组合,可以分解到各个行业。每个行业上的成分 VaR 将等于行业下各个股票的成分 VaR 之和,而组合总 VaR 又等于各个行业的成分 VaR 之和。在日常风险管理中,通常用成分 VaR 来衡量一个组合中各个头寸的风险。
如果使用边际 VaR 的 beta 的定义,由于组合各持仓的加权 beta 之和等于一,很自然地有成分 VaR 之和等于组合 VaR。
在模拟法中,各个资产的成分 VaR 等于各资产在产生 VaR 值的那个场景的损益,不需要单独计算 VaR 值。同时,边际 VaR 可从成分 VaR 反推。
1.2.4、不同风险软件中的定义差别
本文所采用的是《Value at Risk :金融风险管理新标准》里的定义和名称。
Risk Metrics 的 Risk Manager 中的定义和上述不一致。它的 Marginal VaR ( MVaR )是指上面的增量 VaR ,而 Incremental VaR ( IVaR )是指上面的成分 VaR , CVaR 是指上面的 Expected shortfall。
1.3、相对 VaR ( Relative VaR )
上面 VaR 针对实际盈亏金额,但对于某些资产组合,它更关心其相对于基准的表现。相对 VaR 即是用来衡量相对于基准的风险,记$ X$ 为组合相对于其基准的超额收益,其分布函数为$ F(x)=P(X\leq x)$ ,那么置信水平为$ p$ 的 VaR 为:
这种相对概念同样适用于 ES、增量 VaR 和成分 VaR。
2、计算不同参数下的 VaR
VaR 有两个主要参数,一个参数为置信水平,另一个为时间区间。在两种情况下需要进行转换,
- 在已经得到一个 VaR 的情况下,快速估算另一组参数下的 VaR 值;
- 不同机构公布的 VaR 的参数不一致,如何将其标准化为可互相比较的量。
当然,重新计算是最佳的选择。当计算使用历史模拟法或者蒙特卡洛模拟法,并且保存了过程数据的情况下,重新计算只需要在模拟的收益重新取分位点。U.S. Fedural Reserve 便推荐这种方法。但是,在大多数情况下,重新计算既无必要,也不可能有足够数据(比如上面的第二种情况下,无法重新计算别人的 VaR )。
2.1、不同置信水平的转换
常用的 95%和 99%置信水平的 VaR 转换关系为:
该转换方法和参数法计算出来的 VaR 是相容的,都内置假设:预期收益呈正态分布,如果对预期收益做其它假设,比如假设预期收益呈 t 分布,可得到类似的相关性。这类正态分布(或者其它分布)的假设并不总是合理的,特别是对于非线性资产(如期权),对这类资产的组合通常需要重新计算。
2.2、不同时间区间的转换
我们可以计算日 VaR ,也可以计算周 VaR、10VaR ,月 VaR ,一般来说可以用下面的转换公式:
该公式基于不同周期的波动率的转换关系。但需要注意两点,
- 该公式同样假设组合未来收益呈正态分布,并不适合非线性资产的情况。
- 当$ n$ 过大时同样不适用,比如一个股票的日 VaR 大约为本金的 3%,根据上面的公式,当时间区间足够长时, VaR 将比本金还大,这是不可能的。当$ n$ 比较大时,一般使用下面的转换公式:
该转换公式基于连续复合收益率的思想,其中 mtm 为 VaR 对应的市值,$ \tau$ 为 VaR 和波动率之间的转换系数( 95%VaR 对应转换系数 1.6449 , 99%VaR 对应转换系数 2.3263 )。
Q. E. D.