VaR 的相关指标和参数转换

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系列:VaR Primer

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1. 相关指标

1.1. ES ( Expected shortfall )

VaR 衡量一个投资的收益的分位点,衡量未来在一定概率上的损失情况,但某些时候还不够,比如说卖出一个深度价外期权,它的 VaR 为 0 ,但这不代表它没有风险。这类风险被称为尾部风险,可以用 ES 来衡量。

简单说来, ES 指位于超出 VaR 的损失的的条件期望。假设 X 为预期收益,则:

$$\text{ES}_p = -E(X|X\leq-\text{VaR}_p)$$

除了 ES 外,它还有若干个称呼,比如 Conditional VaR ,平均 VaR ( average value at risk ),尾部风险( expected tail loss )。

ES 除了可以衡量其厚尾风险外,还有一个更重要的特征,它具有半可加性,即对于两个组合\( P_1\)\( P_2\)

$$\text{ES}(P_1+P_2)\leq \text{ES}(P_1) + \text{ES}(P_2)$$

这个特征使得对于一个大范围的风险限制可以分解到子单位上,只需要控制一个公司各个部门的 ES ,即控制了整个公司的 ES。但 VaR 无法做到这一点,更详细的讨论见VaR :存在问题和应对方法(未完成)。

1.2. VaR 的细分

一个组合由多个小组合或头寸组成,比如一个公司整体资产组合由各个部门的组合构成,一个组合也可以由不同类型的资产组成。其中小组合的风险可以用它本身的 VaR 衡量,但这样就忽略了和组合其它资产的相关性。更好的指标是增量 VaR 和成分 VaR ,用来衡量组合的一部分如何影响整个组合的风险。

首先定义一些符号,一个资产组合在第\( i\) 个头寸上的暴露市值为\( w_i\) ,那么其 VaR 可视为\( w_i\) 的函数:\( \text{VaR}= \text{VaR}(w_1, w_2, \cdots, w_n)\)

1.2.1. 增量 VaR ( Incremental VaR )

增量 VaR ,是指当一个头寸加入到组合时,新增的 VaR ,或者说,从原组合删去一个头寸,所减少的 VaR。

$$\text{IVaR}_i(w_1, w_2, \cdots, w_n) = \text{VaR}(w_1, w_2, \cdots, w_n) - \text{VaR}(w_1, \cdots, w_{i-1}, 0, w_{i+1}, \cdots, w_n)$$

增量 VaR 提供了很多信息。如果增量 VaR 小于 0 ,表明新交易降低了风险,即为「对冲交易」。当想知道平掉哪个头寸可以最大限度消除 VaR 值,就从各个头寸的增量 VaR 入手。

但需要注意的是,各个头寸的增量 VaR 之和并不一定等于总 VaR。

1.2.2. 边际 VaR ( Marginal VaR )

边际 VaR ,是 VaR 对于单个头寸暴露市值的敏感性,亦即

$$\text{MVaR}_i(w_1, w_2, \cdots, w_n) = \frac{\partial \text{VaR}(w_1, \cdots, w_n)}{\partial w_i}$$

在实际计算中,通常使用

$$\text{MVaR}_i(w_1, w_2, \cdots, w_n) =\text{VaR}(w_1, \cdots, w_n) - \text{VaR}(w_1, \cdots, w_{i-1}, w_i-1, w_{i+1}, \cdots, w_n)$$

用模拟法计算 VaR 时,边际 VaR 有更简单的方法获得,具体参考下面成分 VaR 的计算方法。

当投资者想减仓固定金额,同时想降低尽量多的风险时,他便可以选取边际 VaR 最大的头寸进行操作。另外,边际 VaR 还是一个中间指标,用来计算下面的成分 VaR。

边际 VaR 与该头寸相对于该组合的 Beta 相关:

$$\text{MVaR}_i = \beta_i \text{VaR}$$
1.2.3. 成分 VaR ( Component VaR )

成分 VaR 等于每个头寸的暴露市值与其边际 VaR (敏感性)的乘积:

$$\text{CVaR}_i(w_1, \cdots, w_n) = w_i \times \text{MVaR}_i(w_1, \cdots, w_n)$$

由于\( VaR\) 是齐次函数,即对于任意\( k\) ,均有

$$k\text{VaR(}w_1, \cdots, w_n) = \text{VaR}(kw_1, kw_2, \cdots, kw_n)$$

上式两边在\( k=1\) 处对\( k\) 求导数,便有

$$\begin{array}{rcl}\text{VaR}(w_1, \cdots, w_n) &=& \sum_{i=1}^n w_i\times\frac{\partial \text{VaR}(w_1, \cdots, w_n)}{\partial w_i}\\ &=&\sum_{i=1}^nw_i\times \text{MVaR}(w_1, \cdots, w_n) \\ &=&\sum_{i=1}^n \text{CVaR}_i(w_1, \cdots, w_n)\end{array}$$

这说明成分 VaR 是组合整体 VaR 的一种分解方式,代表每个头寸对于总风险的贡献值。事实上,这个分解在任何一个层面上成立。比如一个股票的组合,可以分解到各个行业。每个行业上的成分 VaR 将等于行业下各个股票的成分 VaR 之和,而组合总 VaR 又等于各个行业的成分 VaR 之和。在日常风险管理中,通常用成分 VaR 来衡量一个组合中各个头寸的风险。

如果使用边际 VaR 的 beta 的定义,由于组合各持仓的加权 beta 之和等于一,很自然地有成分 VaR 之和等于组合 VaR。

在模拟法中,各个资产的成分 VaR 等于各资产在产生 VaR 值的那个场景的损益,不需要单独计算 VaR 值。同时,边际 VaR 可从成分 VaR 反推。

1.2.4. 不同风险软件中的定义差别

本文所采用的是《Value at Risk :金融风险管理新标准》里的定义和名称。

Risk Metrics 的 Risk Manager 中的定义和上述不一致。它的 Marginal VaR ( MVaR )是指上面的增量 VaR ,而 Incremental VaR ( IVaR )是指上面的成分 VaR , CVaR 是指上面的 Expected shortfall。

1.3. 相对 VaR ( Relative VaR )

上面 VaR 针对实际盈亏金额,但对于某些资产组合,它更关心其相对于基准的表现。相对 VaR 即是用来衡量相对于基准的风险,记\( X\) 为组合相对于其基准的超额收益,其分布函数为\( F(x)=P(X\leq x)\) ,那么置信水平为\( p\) 的 VaR 为:

$$\text{VaR}_p = -F^{-1}(1-p)$$

这种相对概念同样适用于 ES、增量 VaR 和成分 VaR。

2. 计算不同参数下的 VaR

VaR 有两个主要参数,一个参数为置信水平,另一个为时间区间。在两种情况下需要进行转换,

  1. 在已经得到一个 VaR 的情况下,快速估算另一组参数下的 VaR 值;
  2. 不同机构公布的 VaR 的参数不一致,如何将其标准化为可互相比较的量。

当然,重新计算是最佳的选择。当计算使用历史模拟法或者蒙特卡洛模拟法,并且保存了过程数据的情况下,重新计算只需要在模拟的收益重新取分位点。U.S. Fedural Reserve 便推荐这种方法。但是,在大多数情况下,重新计算既无必要,也不可能有足够数据(比如上面的第二种情况下,无法重新计算别人的 VaR )。

2.1. 不同置信水平的转换

常用的 95%和 99%置信水平的 VaR 转换关系为:

$$\text{VaR}_{95\%} = 0.70\times\text{VaR}_{99\%}$$
$$\text{VaR}_{99\%} = 1.41\times\text{VaR}_{95\%}$$

该转换方法和参数法计算出来的 VaR 是相容的,都内置假设:预期收益呈正态分布,如果对预期收益做其它假设,比如假设预期收益呈 t 分布,可得到类似的相关性。这类正态分布(或者其它分布)的假设并不总是合理的,特别是对于非线性资产(如期权),对这类资产的组合通常需要重新计算。

2.2. 不同时间区间的转换

我们可以计算日 VaR ,也可以计算周 VaR、10VaR ,月 VaR ,一般来说可以用下面的转换公式:

$$n\text{-day VaR} = \text{1-day VaR} \times \sqrt{n}$$

该公式基于不同周期的波动率的转换关系。但需要注意两点,

  1. 该公式同样假设组合未来收益呈正态分布,并不适合非线性资产的情况。
  2. \( n\) 过大时同样不适用,比如一个股票的日 VaR 大约为本金的 3%,根据上面的公式,当时间区间足够长时, VaR 将比本金还大,这是不可能的。当\( n\) 比较大时,一般使用下面的转换公式:
$$n\text{-day VaR} = \tau\times\text{mtm} \times (e^{\log(1+\frac{\text{1-day VaR}}{\tau\times\text{mtm}})\times \sqrt{n}}-1)$$

该转换公式基于连续复合收益率的思想,其中 mtm 为 VaR 对应的市值,\( \tau\) 为 VaR 和波动率之间的转换系数( 95%VaR 对应转换系数 1.6449 , 99%VaR 对应转换系数 2.3263 )。

Q. E. D.

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风险管理 » VaR Primer
投资者和投资组合管理者面临着各种各样的风险,包括市场风险、信用风险、流动性风险和操作风险等。市场风险是指因为股票价格、利率、汇率、商品价格的变动带来的风险,是投资者面临的最直接的风险,往往也是其它风险的导火索。VaR 是用来衡量市场风险的主要工具之一。
风险管理 » VaR Primer
在一个大型的组合中,有成千上万只不同的证券,但不同证券的价格可能受到同样的因素所驱动,比如同一个国家的债券几乎都受到该国的基准利率所影响。为了简化 VaR 的计算,通常将那些最根本的因素挑选出来,这些因素被称为风险因子。根据风险因子的状态,计算证券的价格被称为估值。
类似文章:
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回顾 VaR 的定义,\( F\) 为未来收益的累计分布函数,那么
对于一个组合(比如一些债券的现券),假设使用另外一个资产(比如国债期货)进行对冲,那么不同的对冲数量下,组合 VaR 值的变化将如下图蓝线所示,对冲资产的增量 VaR将如红色线所示:
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在计算 VaR 之前,需要先明确所计算 VaR 的参数。最重要的两个参数为时间期限和置信度,前者对应所需衡量风险的时间段,后者对应风险的容忍度。
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一个场景是所有风险因子的表现序列。历史场景是指风险因子在历史上某天的实际表现,随机场景则是计算机随机模拟生成的。通常蒙特卡洛模拟法需生成至少 1000 个随机场景,然后计算组合在每个场景下的损益,最后取 5%分位点得到组合的 VaR 值。
VaR 随着市场的变动是一件让风险管理者为难的事情:
这个 Excel 模板使用参数法和历史法计算资产组合的VaR,两个函数分别是 ParaVaR 和 HistVaR ,是以前写的VaR Primer的一个实现。具体使用方法可参考模板以及 VBA 的代码注释。
风险管理用到的指标通常有两种计算方式,一种是事前的( ex ante ),一种是事后的( ex post )。
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BASEL 的框架要求所有使用内部模型法计量市场风险必须要进行回溯测试。回溯测试可以:
今天买了一对电力线适配器,型号TP-LINK TL-PA201
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