回溯检验VaR

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系列:VaR Primer

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1. 为什么要进行回溯测试

BASEL 的框架要求所有使用内部模型法计量市场风险必须要进行回溯测试。回溯测试可以:

1、用来检测风险度量模型的恰当性,包括参数设置合理性、数据完整性、计算模型合理性。

2、用来帮助确认升级风险衡量模型的必要性。对一些投资者而言,最开始计算 VaR 的模型可能比较简单,当进行新的资产类型和国家地区的投资时,原有模型可能无法覆盖相应的资产类型,或者没有相应的数据,此时可以用回溯测试来检验当前模型的合理性,是否有必要升级定价模型和购买更多数据。

2. 回溯测试的对象

回溯测试主要用来估计 VaR 的准确性,更准确地说, VaR 是否反映了组合损益的波动性。所以回溯测试的对象主要是 VaR 和损益,它们的时间周期要保持一致,比如用下一天的损益测试当天的日 VaR ,用下一周的损益测试当天的周 VaR。

VaR 在这里没有歧义。但在操作层面上,损益却有不同的取法。具体而言有下面三种:

  1. 实际损益:指组合实际每天发生的盈亏金额,这个数据是最容易获取的,因为组合实际的盈亏数据肯定是每天都会被统计的。这里将组合在期间的交易变动、发生的税费、手续费和利息等收入支出都考虑在内。
  2. 模拟损益:指假设组合在当期保持不变,使用财务上的估值方法计算所发生的盈亏金额。
  3. 模型损益(只针对模拟法):假设组合在当期保持不变,并且使用 VaR 模型里的估值模型计算组合的损益。模型损益和模拟损益的差异主要体现风险模型和财务上的估值差异。

3. 回溯测试失败意味着什么

回溯测试通常使用假设检验的方法。没有通过假设检验,有可能是运气不好的原因。但还是需要注意以下问题:

3.1. VaR 计算模型问题

比如使用了错误的时间区间或者概率水平、对于风险因子的分布估计不合适等等。

如果 VaR 和模型损益没有通过回溯测试,由于这里已经使用的是模型给出的估值,只可能是 VaR 计算模型的问题。

3.2. 准确性需要改进

问题通常出现在估值模型或基础数据的准确性上。如果资产的估值并没有考虑所有影响该资产估值的波动,那么就会低估其风险。一个简单的例子为,使用一条普通的利率曲线对现金流进行折现来获得债券的估值,但如果该债券的信用等级较低,利差波动较大,那么该债券的实际波动会比这种简单折现的估值方法计算出的 VaR 要大得多。

基础数据准确性和不一致也是造成 VaR 不准确的重要原因。在计算股票的 VaR 时,需要对停牌、派息除权、新股等很多基础数据进行整理,否则便会出现意外结果。

如果使用模拟损益和 VaR 通不过回溯测试,通常说明了这类原因。

3.3. 日间交易

如果模拟损益和 VaR 能通过回溯测试,但实际损益和 VaR 通不过测试,那么情况出现在日间交易上。由于 VaR 通常以每天收盘时的持仓为基础,并未刻画日间交易产生的波动。这种情况下,可能需要改用更短的时间间隔,或者 VaR 这个参数可能不是最适合业务的风险刻画方式。

3.4. 到底用哪个损益来进行回溯测试

在风险管理中需要控制的是组合的实际损益,受到监管机构的监督的真正盈亏,反应了实际交易回报的波动。而在这点上模拟损益和模型损益并无实际意义。所以 如果要对整个 VaR 系统进行衡量,必须要进行实际损益和 VaR 的回溯测试 。同时,实际损益数据也是最容易获得的。

如果只想观察 VaR 本身是否计算准确,模拟损益是更公正的回测对象 。如果样本观察时间相对较短,交易不频繁,模拟损益和实际损益相差不大。

当实际损益和 VaR 通不过回溯测试时,就可以进一步地测试模拟损益和模型损益。因为我们必须弄清楚到底是 VaR 计算有误,还是其它原因(比如日间交易产生的损益太大)。

在实际工作中,也通常使用模型损益,这是因为它们比较容易获取。大多数 VaR 计算软件会在计算 VaR 的过程中顺便把模型损益算出来。

4. 回溯测试的方法

无论使用上面那一种损益,测试方法都是一样的。VaR 代表损益的某一特定分位点,我们将损失超过 VaR 称为一次「突破」事件,需要检验:「突破」是概率为 5%的独立事件,其一频率为 0.05 ,其二时间序列上的独立性。

\( T\) 个样本中,定义 \( N\) 为 VaR 突破事件的次数, \( N/T\) 为突破率。在理想情况下, \( N/T\) 应该随着样本量的增加而趋向于 \( p=0.05\) 。根据 BIS 的要求,至少需要一年的样本数据。

4.1. 巴塞尔规则

巴塞尔框架中对于回溯测试有明确的要求。它只对 99%的日 VaR 进行了限定,并使用一年的样本。一年的平均突破次数约 2.5 次,巴塞尔委员会可以接受最多 4 次突破。如果发生了 5 次或更多,则银行出于黄灯或者红灯区域,并对银行资本有更高的要求,体现在递增的增值因子上:

区域 突破事件次数N 增值因子k
绿 0 —— 4 0
5 0.4
6 0.5
7 0.65
8 0.75
9 0.85
10+ 1

注意巴塞尔规则并未对独立性进行限定。

4.2. 频率检验

最简单的方法是构造统计量

$$z = \frac{N-pT}{\sqrt{p(1-p)T}}$$

利用中心极限定理, \( z\) 近似于正态分布, \( z\sim N(0,1)\) 。从而可以进行假设检验。

这种方法产生的第二类错误较大。Kupiec 在 1995 年定义了另外一种统计量:

$$LR_{uc} = -2 \log((1-p)^{T-N}p^N)+2\log((1-(N/T))^{T-N}(N/T)^N)$$

在 T 较大时,该统计量符合自由度为 1 的 \( X^2\) 分布。从而可以进行对应的假设检验。

4.3. 独立性检验

按照 5%的概率,一年大约会发生 12 次突破事件,而我们不希望这些事件在短时间内接连发生。所以,除了频率检验之外,我们还可以对 VaR 突破事件进行独立性检验。

Christoffersen Test 是其中的方法之一。它事实上在测试,当天发生突破事件时,第二天发生突破事件的概率和当天不突破时,第二天发生突破的概率是否一样。也就是说, Christoffersen Test 只关心相邻两天是否独立。其效果一般。

如果「突破」事件是独立事件,那么「突破」事件发生的时间间隔是一个参数为 \( 1/p\) 的指数分布。根据这个分布 Christoffersen 和 Pelletier 也建立了检验方法。

4.4. 注意事项

VaR 回溯检验里所要求的样本量较大,特别是当 p=99%时。较低的样本量的检验结果极不准确,对独立性检验更是如此。在实际使用中,需要充分认识到假设检验方法的缺陷。

5. 其它和一些参考文献

《Value at Risk》书中提到 2002 年的一份实证研究报告,报告中指出 VaR 的突破次数低于期望次数。原因可能是风险管理人员不愿意去解释 VaR 突破的原因。银行也倾向于报告较高的 VaR 值,避免监管部门的介入。

一些参考文献:

Q. E. D.

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在计算 VaR 之前,需要先明确所计算 VaR 的参数。最重要的两个参数为时间期限和置信度,前者对应所需衡量风险的时间段,后者对应风险的容忍度。
这个 Excel 模板使用 参数法和历史法 计算资产组合的 VaR ,两个函数分别是 ParaVaR 和 HistVaR ,是以前写的 VaR Primer 的一个实现。具体使用方法可参考模板以及 VBA 的代码注释。
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一般而言,如果企业要与外行进行场外衍生品交易(OTC Derivative),那么它就得交易前与银行签订ISDA协议。
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