几个债券敏感性(Greeks)指标

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所有风险指标都需要从估值谈起。

1. 债券的估值

债券的估值,理论上而言,都是未来现金流的折现值之和。所以在估值计算时,需确定两项:一、未来现金流量表;二、折现因子。

对于普通债券,未来现金流量非常容易获取,是到期的本金和按期支付的利息(但对于浮息债,利息金额是不确定的)。对于含权债,由于债券内含的期权,未来现金流可能被截断,此时对现金流的估计需考虑到现金流发生时的价格。

值得注意的一点是,对于含权债,由于未来现金流的变化会导致计算比较复杂,所以在计算一些指标时就不考虑这个变化,这些指标就有两个不同的名字。比如修正久期和有效久期, Z-Spread 和 OAS。前一个指标不考虑现金流变化;后一个指标考虑了现金流变化,它更准确,但计算也更复杂。

折现因子用来估计未来现金流的现值,比如 10 年后到期的本金目前价值几何。通常,这可以是一个与期限无关的到期收益率(简称 YTM ),也可以是一条收益率曲线。

2. 利率敏感性指标

在债券的估值中,现金流比较固定(除非债券含权),影响债券估值的主要因素为收益率曲线的变动。所以,我们需要知道收益率曲线的变动对债券估值的影响。这便是久期和凸度的来源。

直观上看,久期\( \Delta\) 和凸度\( \Gamma\) 是债券价格变动率\( \text{d}P/P\) 相对于到期收益率\( r\) 的一阶和二阶展开系数,即:

$$\begin{equation}\frac{\text{d}P}{P} = -\Delta \text{d} r + \frac12\Gamma (\text{d} r)^2\label{dpptayler2}\end{equation}$$

2.1. 有效久期和有效凸度

有效久期和有效凸度是正常的久期和凸度,即式子(\ref{dpptayler2})中的展开系数。在实际计算中,通常使用:

$$\begin{equation}\Delta = \frac{P(r-\text{d}r)-P(r+\text{d}r)}{2\text{d}r}\label{deltaformula}\end{equation}$$
$$\begin{equation}\Gamma=\frac{P(r-\text{d}r) +P(r+\text{d}r) - 2P(r)}{(\text{d}r)^2}\label{convexityformula}\end{equation}$$

其中\( P(r+\text{d}r)\)\( P(r-\text{d}r)\) 分别为到期收益率向上或向下变动\( \text{d}r\) 时的债券估值。

2.2. 修正久期和修正凸度

修正久期和有效凸度的计算公式与(\ref{deltaformula})和(\ref{convexityformula})一模一样,唯一区别是,在计算债券估值时,不考虑现金流的变化,将它当作一个普通债券处理。对于普通债券,修正久期和修正凸度和有效久期、有效凸度是一样的。但对于内含期权的债券,计算修正久期和修正凸度时,不考虑债券内含期权导致的未来现金流变化。

修正久期的提出是因为某些情况下有效久期的计算过于复杂,从而使用修正久期和凸度来进行近似。

修正久期和有效久期都是基于全价。因此在付息时,债券的久期会小幅跳动上升。也就是说,债券久期并不是随着到期日的临近一直逐渐变小。

2.3. 麦克劳林久期

麦克劳林久期是指加权现金流期限。它也不考虑现金流的变化。对于零息债券,麦克劳林久期即到期期限。

2.4. 久期金额(dollar duration)、凸度金额(dollar convexity)

对于有效久期和有效凸度,我们可以定义久期金额\( \Delta_d\) 和凸度金额\( \Gamma_d\)

$$\Delta_d=P \Delta,\ \ \Gamma_d = P\Gamma$$

显然,它们分别是债券价格变动相对于收益率变动的一阶和二阶展开系数:

$$\begin{equation}\text{d}P=-\Delta_d\text{d}r+\frac12\Gamma_d(\text{d}r)^2\label{dollartayler2}\end{equation}$$

2.5. DV01

DV01 ,也被称为 DVBP 或基点价值,概念上和有效久期金额一致,细节上有一些差异:

  • 一般来说计算久期和凸度使用到期收益率(或者认为收益率曲线是平坦的),但 DV01 可以使用任何合适的收益率曲线。
  • DV01 特定指收益率曲线平移一个 BP (即 0.01%)时,债券估值的变化。而久期,更严格定义是价格收益率相对于 YTM 的一阶导数,虽然实际计算中通常让 YTM 变动 1BPs 去近似。

2.6. 关键点 DV01

关键点 DV01 和 DV01 类似,只不过在平移收益率曲线时,只平移收益率曲线的单个节点,移动量仍然是 1 个 BP。

信用敏感性指标

3. I-Spread、Z-Spread 和 OAS

上面提到对债券进行估值。但有时候情况是反过来的。比如债券在市场上有一个交易价格,通常这才是真实的债券价格(即 Fair value ),用来做会计处理和风险计算。那么这时候需要怎么做呢?这便是 Z-Spread 和 OAS 分析。

其中 OAS(Opition adjusted spread)是指,需要将无风险收益率曲线往上平移多少 BPs ,使得债券的估值恰好等于市场价格。OAS 代表着一个债券的风险补偿,特别是信用风险和流动性风险。如果风险一样的两个债券, OAS 高的那个债券被相对低估, OAS 低的那个债券被相对高估。

而 Z-Spread 和 OAS 基本上是一致的,除了 Z-Spread 在计算估值时不考虑债券的内含期权(即将该债券当成一个普通债券)。对于普通债券, OAS 等同于 Z-Spread。对于含权的债券, Z-Spread ,它与 OAS 的差也代表期权的价值。对于内含买入期权(指债券发行人有权利以特定价格回购债券)的债券, Z-Spread 将高于 OAS ;内含卖出期权(指债权人有权力以特定价格将债券提前卖给债券发行人)的债券, Z-Spread 将低于 OAS。

除此之外还有一个 I-Spread ,它等于债券的到期收益率与收益率曲线对应到期期限的利率之差。I-Spread 可以被理解为不考虑收益率曲线结构的 Z-Spread。

Q. E. D.

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