Delta 金额和 Gamma 金额

作者: , 共 2990 字 , 共阅读 0

我之前一直对 Delta ($ \Delta$ )和 Gamma ($ \Gamma$ )等 Greeks 指标理解得比较模糊,今晚上用笔认真推导了一下,以下是总结。数学公式永远是最清晰的表达方式。

1、Delta 和 Gamma 是什么

一个证券或一个组合的价值为$ P$ ,是其风险因子(或者说基准证券)的价格$ S$ 的一个函数,那么该证券的价值相对于该风险因子的价格变动可以展开到二阶:

$$\text{d}P =\Delta\text{d}S + \frac12 \Gamma (\text{d}S)^2$$

显然$ \Delta$$ \Gamma$ 有表达式:

$$\Delta=\frac{\text{d}P}{\text{d}S}, \text{   }\,\Gamma=\frac{\text{d}^2P}{\text{d}S^2}=\frac{\text{d}\Delta}{\text{d}S}$$

直观上来说,$ \Delta$ 表示该证券或组合相当于多少「份」基准证券。比如一份可买入一股股票的期权的 Delta 为 0.5 ,则表示该期权大约相当于半股股票。显然,线性产品的 Delta 都是 1 ,普通期权的 Delta 在-1 到 1 之间。

$ \Gamma$ 则是$ \Delta$$ S$ 的再次求导,衡量$ \Delta$ 随着$ S$ 价格变动的变化幅度。对于线性产品,$ \Gamma$ 等于 0 ,对于普通期权,$ \Gamma$ 大于 0。

从上面$ P$ 的展开式看,$ \Gamma$ 大于 0 是一件非常好的事情。但它是有代价的,代价是$ \Theta$ ,即该证券的时间价值。具体等以后有空再分析。

指标 Delta 和 Gamma 有个缺点,它在不同基准证券上不可加。比如一个组合卖出一股期权买入一股另一个股票的期权,其中前者标的股票价格为 100 元,后者为 10。假设两个期权的 Delta 都是 0.5 ,那么直接将它们相加得到组合的 Delta 是 0。这个 Delta 本身没问题,如果两个股票都上涨 1 块钱,那么期权组合的价值基本不变。但实际参考价值不大,因为实际中不太可能这两个股票同时上涨 1 块钱,可能性更大的是,前一个股票上涨 1 块钱,后一个只上涨 1 毛钱,此时组合实际将损失 0.45 元。所以,在实际涉及到股票等风险因子时,大家用得更多的是 Delta 金额和 Gamma 金额。它们与 Delta 和 Gamma 的区别在于,假设基准证券的价格都变动同样的比例(即收益率一样,比如同时上涨 1%)。

2、Delta 金额和 Gamma 金额是什么

Delta 金额( Dollar Delta ,用$ \Delta_\text{d}$ 表示),是指,该证券或组合相对于多少「市值」的基准证券。比如一个可转债组合(相对于股票)的 Delta 金额为 100 万元,即代表,该可转债组合大约相当于持有 100 万元市值的股票。

$$\Delta_d = S\Delta = \frac{S\text{d}P}{\text{d}S}$$

如果标的股票不一样,先用上面式子算出每个持仓的 Delta 金额,再累计即可。注意$ S$ 的收益率可以写成$ \text{d}S/S$ ,所以$ \Delta_\text{d}$ 是组合市值变动相对于风险因子(或基准债券)收益率的一阶展开式:

$$\text{d}P = \Delta_d \frac{\text{d}S}{S}$$

我们可以自然而言将上式推广到二阶,就像上面定义$ \Delta$$ \Gamma$ 那样,这样可以定义 Gamma 金额( Dollar Gamma )。我们用$ \Gamma_\text{d}$ 表示组合市值相对于基准证券收益率的二阶展开系数:

$$\text{d}P = \Delta_d \frac{\text{d}S}{S} + \frac12\Gamma_d (\frac{\text{d}S}{S})^2$$

即:

$$\Gamma_d = \frac{\text{d}P}{(\text{d}S/S)^2} = S^2\Gamma$$

但需要注意的是,这里的 Gamma 金额并不是 Delta 金额相对于收益率的敏感性,这与 Gamma 和 Delta 之间的关系不一样。事实上,它们之间恰好相差一个 Delta 金额:

$$\Gamma_d = \frac{\text{d}\Delta_d}{\text{d}S/S} - \Delta_\text{d}$$

对于线性产品,上述定义的 Delta 金额即产品市值, Gamma 金额为 0。当然我们也可以定义 Gamma 金额为 Delta 金额相对于收益率的敏感性,但此时上面$ \text{d}P$ 的二阶展开式就不再成立,而且线性产品的 Gamma 金额也不为 0 ,与直接不太相符。

3、对于利率和利差风险因子

常见的风险因子可以分为股票、利率、利差、汇率、大宗商品和波动率六大类。

上面定义 Delta 金额和 Gamma 金额为组合价格相对于基准收益率的一阶和二阶近似系数。它适用于股票、汇率、大宗商品以及波动率。

而利率和利差并没有收益率的概念,我们很少说今天利率增加了 10%,一般都是说增加或减少多少个基点( 100 基点为一个百分点)。所以对这两类风险因子, Delta 金额和 Gamma 金额并不适用上面第二部分中的定义方式,而是直接等同于 Delta 和 Gamma。两者之间并无区别。

Q. E. D.

类似文章:
风险管理 » VaR Primer
在一个大型的组合中,有成千上万只不同的证券,但不同证券的价格可能受到同样的因素所驱动,比如同一个国家的债券几乎都受到该国的基准利率所影响。为了简化 VaR 的计算,通常将那些最根本的因素挑选出来,这些因素被称为风险因子。根据风险因子的状态,计算证券的价格被称为估值。
所有风险指标都需要从估值谈起。
美式期权是指可以在期权到期之前任何一个时点行权的期权,欧式期权则只能在期权到期日行权。从这个角度上看,美式期权的价值不低于同样条款(指同样标的、到期日和行权价)的欧式期权。
数学 » 数学游戏, 概率
蚁迹寻踪及其他数学探索》提到一个游戏:
相似度: 0.124
投资 » 债券学院, 基点
我在前面债券的敏感性里简单介绍过债券的 DV01 ,即俗称的基点价值。那篇文章还不够完整,我这里再补充一下。
继续写 Mathematical techniques in finance 这本书的笔记,这是第二篇,第一篇是One-Period 模型和无套利定价
风险管理 » VaR Primer
VaR 衡量一个投资的收益的分位点,衡量未来在一定概率上的损失情况,但某些时候还不够,比如说卖出一个深度价外期权,它的 VaR 为 0 ,但这不代表它没有风险。这类风险被称为尾部风险,可以用 ES 来衡量。
除纸黄金等大宗商品期货,沪深 300 股指期货等金融期货外,不知道有多少人知道天气期货这玩意儿。
风险管理 » VaR Primer
回顾 VaR 的定义,$ F$ 为未来收益的累计分布函数,那么
风险管理 » VaR Primer
在计算 VaR 之前,需要先明确所计算 VaR 的参数。最重要的两个参数为时间期限和置信度,前者对应所需衡量风险的时间段,后者对应风险的容忍度。
我写了一个期权到期收益结构的 Excel 模板。欢迎大家无聊的时候使用。
一大晚上看到 ISDA 发布了公告(公告链接)表示希腊债券重组目前尚未构成信用事件: