Delta 金额和 Gamma 金额

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我之前一直对 Delta (\( \Delta\) )和 Gamma (\( \Gamma\) )等 Greeks 指标理解得比较模糊,今晚上用笔认真推导了一下,以下是总结。数学公式永远是最清晰的表达方式。

1. Delta 和 Gamma 是什么

一个证券或一个组合的价值为\( P\) ,是其风险因子(或者说基准证券)的价格\( S\) 的一个函数,那么该证券的价值相对于该风险因子的价格变动可以展开到二阶:

$$\text{d}P =\Delta\text{d}S + \frac12 \Gamma (\text{d}S)^2$$

显然\( \Delta\)\( \Gamma\) 有表达式:

$$\Delta=\frac{\text{d}P}{\text{d}S}, \text{   }\,\Gamma=\frac{\text{d}^2P}{\text{d}S^2}=\frac{\text{d}\Delta}{\text{d}S}$$

直观上来说,\( \Delta\) 表示该证券或组合相当于多少「份」基准证券。比如一份可买入一股股票的期权的 Delta 为 0.5 ,则表示该期权大约相当于半股股票。显然,线性产品的 Delta 都是 1 ,普通期权的 Delta 在-1 到 1 之间。

\( \Gamma\) 则是\( \Delta\)\( S\) 的再次求导,衡量\( \Delta\) 随着\( S\) 价格变动的变化幅度。对于线性产品,\( \Gamma\) 等于 0 ,对于普通期权,\( \Gamma\) 大于 0。

从上面\( P\) 的展开式看,\( \Gamma\) 大于 0 是一件非常好的事情。但它是有代价的,代价是\( \Theta\) ,即该证券的时间价值。具体等以后有空再分析。

指标 Delta 和 Gamma 有个缺点,它在不同基准证券上不可加。比如一个组合卖出一股期权买入一股另一个股票的期权,其中前者标的股票价格为 100 元,后者为 10。假设两个期权的 Delta 都是 0.5 ,那么直接将它们相加得到组合的 Delta 是 0。这个 Delta 本身没问题,如果两个股票都上涨 1 块钱,那么期权组合的价值基本不变。但实际参考价值不大,因为实际中不太可能这两个股票同时上涨 1 块钱,可能性更大的是,前一个股票上涨 1 块钱,后一个只上涨 1 毛钱,此时组合实际将损失 0.45 元。所以,在实际涉及到股票等风险因子时,大家用得更多的是 Delta 金额和 Gamma 金额。它们与 Delta 和 Gamma 的区别在于,假设基准证券的价格都变动同样的比例(即收益率一样,比如同时上涨 1%)。

2. Delta 金额和 Gamma 金额是什么

Delta 金额( Dollar Delta ,用\( \Delta_\text{d}\) 表示),是指,该证券或组合相对于多少「市值」的基准证券。比如一个可转债组合(相对于股票)的 Delta 金额为 100 万元,即代表,该可转债组合大约相当于持有 100 万元市值的股票。

$$\Delta_d = S\Delta = \frac{S\text{d}P}{\text{d}S}$$

如果标的股票不一样,先用上面式子算出每个持仓的 Delta 金额,再累计即可。注意\( S\) 的收益率可以写成\( \text{d}S/S\) ,所以\( \Delta_\text{d}\) 是组合市值变动相对于风险因子(或基准债券)收益率的一阶展开式:

$$\text{d}P = \Delta_d \frac{\text{d}S}{S}$$

我们可以自然而言将上式推广到二阶,就像上面定义\( \Delta\)\( \Gamma\) 那样,这样可以定义 Gamma 金额( Dollar Gamma )。我们用\( \Gamma_\text{d}\) 表示组合市值相对于基准证券收益率的二阶展开系数:

$$\text{d}P = \Delta_d \frac{\text{d}S}{S} + \frac12\Gamma_d (\frac{\text{d}S}{S})^2$$

即:

$$\Gamma_d = \frac{\text{d}P}{(\text{d}S/S)^2} = S^2\Gamma$$

但需要注意的是,这里的 Gamma 金额并不是 Delta 金额相对于收益率的敏感性,这与 Gamma 和 Delta 之间的关系不一样。事实上,它们之间恰好相差一个 Delta 金额:

$$\Gamma_d = \frac{\text{d}\Delta_d}{\text{d}S/S} - \Delta_\text{d}$$

对于线性产品,上述定义的 Delta 金额即产品市值, Gamma 金额为 0。当然我们也可以定义 Gamma 金额为 Delta 金额相对于收益率的敏感性,但此时上面\( \text{d}P\) 的二阶展开式就不再成立,而且线性产品的 Gamma 金额也不为 0 ,与直接不太相符。

3. 对于利率和利差风险因子

常见的风险因子可以分为股票、利率、利差、汇率、大宗商品和波动率六大类。

上面定义 Delta 金额和 Gamma 金额为组合价格相对于基准收益率的一阶和二阶近似系数。它适用于股票、汇率、大宗商品以及波动率。

而利率和利差并没有收益率的概念,我们很少说今天利率增加了 10%,一般都是说增加或减少多少个基点( 100 基点为一个百分点)。所以对这两类风险因子, Delta 金额和 Gamma 金额并不适用上面第二部分中的定义方式,而是直接等同于 Delta 和 Gamma。两者之间并无区别。

Q. E. D.

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