VaR 模型中的风险因子和估值框架

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系列:VaR Primer

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在一个大型的组合中,有成千上万只不同的证券,但不同证券的价格可能受到同样的因素所驱动,比如同一个国家的债券几乎都受到该国的基准利率所影响。为了简化 VaR 的计算,通常将那些最根本的因素挑选出来,这些因素被称为风险因子。根据风险因子的状态,计算证券的价格被称为估值。

1. 风险因子和风险矩阵

风险因子,即那些影响资产价格的因素。风险因子之间的关联关系用风险矩阵(即因子之间的协方差矩阵,具体计算方法参见【VaR Primer】VaR 模型中的参数选择和计算细节)刻画。有几个原因,使得在实际计算 VaR 时使用简化的风险因子而不是将每一个证券都当成一个风险因子:

  • 风险矩阵的元素个数按因子个数的平方增加。这使得,当因子个数增加时,计算量和存储空间很快无法承受。
  • 当计算风险因子的历史观察数量小于风险因子的数量时,计算得到的风险矩阵可能不是正定的。因子之间的强线性相关,也会使得风险矩阵不正定。不正定或近似正定的风险矩阵会带来不稳定的 VaR 计算结果。

选取风险因子的自由度比较大,但有一些事实标准:

  • 风险因子,需满足历史一致性,即昨天的该因子和今天的该因子的风险特征是一样的。这样才能使用历史数据估算未来的风险。
  • 权益类产品一般使用股票收益率本身作为因子,如果简单处理的话,可以使用指数收益率作为因子。处于中间状态的 Barra 的多因子模型在 VaR 的计算中也比较流行。
  • 固定收益类产品一般使用不同期限的即期利率作为风险因子,在实际操作中使用各种类型的收益曲线。中债登公布的各类利率曲线和 Shibor 在中国市场上比较常用。
  • 其它风险因子,比如主要影响期权类产品价格的波动率因子。

需要注意的是:根据第一条标准,股票价格本身可以作为一个风险因子,但一般不将债券作为一个风险因子。原因是:今天的股票和昨天的股票可以视为同一个东西,但今天的债券和昨天的债券不是同一个东西,它的到期时间减少了一天。

某些(国内的)软件用债券本身的历史收益率来计算 VaR ,它会高估 VaR。因为债券到期时间越短,波动率越小,使用历史价格会高估其波动率。

某些软件计算 VaR 时使用多重风险因子。比如在最早公布的 RiskMetrics 文档中,虽然风险矩阵里包含了所有的股票,但风险矩阵的计算过程则简化为一个大盘因子:两个不同的股票之间的协方差为\( \beta_i\beta_j\sigma^2_M, \forall i\neq j\) ,其中\( \beta_i\) 为各个股票相对于大盘的\( \beta\)\( \sigma^2_M\) 为基准指数的风险。这种方法使得计算风险矩阵的复杂性从二次性降到了线性。

2. 估值和风险映射

估值和风险映射即指如何从风险因子的收益推导出头寸的收益,一般来说,风险因子将头寸的价格变化分解为风险因子变化的线性组合,估值则不局限于「线性组合」。它们分为两个步骤:

  1. 对于一个证券,判断它受哪些风险因子的影响。在实际 VaR 的计算中,为计算简便,会舍弃一些不重要的因子。
  2. 计算该证券的收益相对于风险因子的函数。如果是线性头寸,它可以表示为风险因子收益的线性和;对于期权等复杂产品,其函数可能会较为复杂,甚至该函数无法直接求值,只能通过模拟法估算。

对于线性证券(指证券的收益可以表示为因子收益的加权和),其映射关系为一个向量,向量的每个数表示该头寸对于该因子的暴露度。而组合的总映射为各个向量之市值加权和,还是一个向量。

2.1. 局部估值法

局部估值法,也叫做 delta-正态估值法,通过偏导数来测量风险敞口。假设一个金融产品的价格取决于若干个风险因子,即

$$v = V(s_1, \cdots, s_m)$$

\( V\) 泰勒展开到 1 阶:

$$dv = \frac{\partial V}{\partial s_1} ds_1 + \cdots + \frac{\partial V}{\partial s_m}ds_m + \cdots$$

剩余的是二阶项,我们将它们直接舍去,得到该金融产品的价格可表示为各风险因子收益的线性和。期权对于股票因子的参数就是常用的 delta 指标,这也是「delta-正态估值法」名字的来历。

对于期权等非线性产品,参数法只能使用局部估值法进行估值。所以,在某些风险软件中,参数法也被叫做「delta-正态法」。

2.2. delta-gamma 近似法

delta-gamma 近似法也是一种局部估值法。和 delta-正态法类似,它将其估值函数展开到二阶项,丢弃更高阶项。比如对于期权的估值,将使用期权的 delta 和 gamma 计算期权的价格:

$$dv = \delta dp + \frac{1}{2}\gamma(dp)^2$$

delta-gamma 近似法比 delta-正态估值法提供更准确的估值。在蒙特卡洛模拟法中经常使用这种估值法,因为

  • 这种方法的计算效率较高,计算 delta 和 gamma 只需要进行两次重新完全估值。
  • 计算 VaR 的软件可能不支持对某些金融产品的估值,唯一的选择是通过接收它们的 delta 和 gamma ,进行近似估值。

这样的方法又被称为 delta-gamma-蒙特卡洛模拟法。

2.3. 完全估值法

在某些情况下, delta-正态估值法不够准确。比如它会高估一个期权多头的风险,而低估一个期权空头的风险。完全估值法,即指,精确计算金融产品的价格。这个价格,可能没有解析解,还需要使用蒙特卡洛进行计算。

3. 估值方法的选取

上面三种方法每种都有其适用性:

  1. 对于期权等非线性产品不占主导的投资组合, delta-正态估值法(以及 delta-正态法,即参数法)对 VaR 提供了高效的计算。
  2. 如果想较快地处理期权等非线性产品的估值,或者系统无法对产品进行完全估值, delta-gamma 近似法较为有效。
  3. 对于含有大量期权成分、或者具有较长的期限,就可能需要使用完全估值法。

虽然完全估值法能得到最准确的结果,但基于以下几个原因,现实中并不总是使用它:

  • 对于一般的资产组合,大部分资产用局部估值法进行估值的误差很小。完全估值法对这种整体组合的计算结果带来的精确性的改进非常有限。
  • 完全估值法的计算速度较慢。
  • 无论系统在最开始做得多完美,总是有些资产系统无法做完全估值,这时候只能用局部估值法。

Q. E. D.

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这个 Excel 模板使用参数法和历史法计算资产组合的VaR,两个函数分别是 ParaVaR 和 HistVaR ,是以前写的VaR Primer的一个实现。具体使用方法可参考模板以及 VBA 的代码注释。
所有风险指标都需要从估值谈起。
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