蒙特卡洛模拟法计算 VaR 的场景生成技术

一个场景是所有风险因子的表现序列。历史场景是指风险因子在历史上某天的实际表现，随机场景则是计算机随机模拟生成的。通常蒙特卡洛模拟法需生成至少 1000 个随机场景，然后计算组合在每个场景下的损益，最后取 5%分位点得到组合的 VaR 值。

由于蒙特卡洛法所需要的随机场景较多，场景的生成速度非常重要。下面介绍标准计算模型、技术改进和一些更进一步的技术改进方向。

注：下面只讨论如何生成「一个」随机场景。要生成多个，简单重复即可。

1、标准模型

前面已经提到过一种随机场景生成方法：假设风险矩阵  $\Sigma$ 为 $N\times N$ 的半正定矩阵，其中$N$ 为风险因子的个数。它可分解为$\Sigma=C'C$ ，那么可以生成因子场景为：

其中$z$ 为随机数的向量，为独立的正态分布。

这是标准的场景生成模型。但如果严格按照尚需步骤走会有以下问题：

• 需要生成中间的风险矩阵，如果风险因子$n$ 较大，保存和计算这个风险矩阵所需要计算和内存资源较大。
• 计算$\Sigma=C'C$ 的分解比较费时。
• 上述计算是不稳定的，这体现在两个方面：
  1. 当增加一个新的风险因子（持仓），上述分解需要全部重算，效率较低；
  2. 当增加一个新的风险因子（持仓）时，即使使用同样的随机数，上面的计算结果将截然不同，比如同一个持仓在不同组合里面计算的 VaR 将不一样。

2、技术改进

模型仍然是上面那个模型，但关键支持在于$C$ 的生成算法。若$\Sigma$ 是任意的半正定矩阵，我们别无它法。但需要注意这里的$\Sigma$ 比较特殊。

假设$n$ 个风险因子过去$T$ 天的的收益率组成一个$T\times N$ 的矩阵$D$ ，其中$T$ 为计算 VaR 的样本长度。那么有

亦即$\frac{D}{\sqrt{T}}$ 就是上面我们所需要的一个$C$ 。我们只需要生成满足正态分布的$T\times 1$ 的随机数向量$z$ ，然后$\frac{D'z}{\sqrt{T}}$ 就是我们需要的一个场景。

这中间不需要计算风险矩阵，也不需要做半正定矩阵的分解。计算的时间复杂性从$N^3$ 下降到$NT$ ，空间复杂性从$N^2$ 下降到$NT$ ，均有数量级上的下降。比如如果风险因子数量超过 1 万，在一年的样本下，计算速度将加快 40 万倍，内存使用量少 40 倍。

抛开上面的数学，场景$\frac{D'z}{\sqrt{T}}$ 有更直观的解释，它事实上是风险因子的历史场景的随机组合。这么理解蒙特卡洛方法，是不是简单多了？

要保存这种随机组合很简单，每个场景只需要保存$T$ 个随机数，而且它跟风险因子的个数完全无关，这也彻底解决了上面提到的计算不稳定的情况。

当然，这种角度也有局限性。那就是无法直接对风险矩阵（也就是相关性）进行任何调整。

3、更进一步的改进方向

为了更进一步地提升效率，以及提高蒙特卡洛模拟法在不同样本期间计算的稳定性，有更进一步的改进或简化。

首先，为了提高在不同样本期间计算的稳定性，我们在最开始就生成足够长的随机字符串。第一天计算使用前$T$ 个随机数，第二天使用从第二个随机数开始的$T$ 个随机数，依次类推。这样计算第一天 VaR 使用的场景和计算第二天 VaR 使用的场景中有部分随机因素是重叠的，这可以大大降低由于场景变动较大带来的蒙特卡洛 VaR 不稳定的现象。

其次，我们还可以做更进一步地简化，比如随机场景不是过去样本期间所有场景的随机组合，而是其中某两个场景的组合，这样计算复杂性可进一步降低；同时，当计算第二天的 VaR 时，并不更换全部的随机场景，而是只用最新的行情数据更新少数几个场景，这样也可以降低场景生成成本。

Q. E. D.