继续写 Mathematical techniques in finance 这本书的笔记，这是第二篇，第一篇是One-Period 模型和无套利定价。
这一章主要讲 risk 和 return ，这两个概念可以说是现代金融和组合管理的核心概念。这一章还是基于One-Period 模型，即指考虑期末的收益情况。
1、效益函数和风险厌恶
风险的概念可以从效应函数谈起。
一个效应函数$ U(x)$ 是指投资者持有价值为$ x$ 的资产时的「幸福指数」，或者说「效应值」。投资者希望自己投资期末的收益对应的效应值越大越好。
经济学上常用的假设为边际效应递减，也就是我们可以合理假设效应函数是「凸」的，在数学上可表示为
即期望收益一样的条件下，拥有完全确定收益的资产对投资者的效应值最大。风险即指：由于未来收益的不确定性，使得投资者的期望效应值降低了。
边际效应递减可以得出投资者是「风险厌恶」的，这也是 Markowitz 组合理论的核心假设。Markowitz 组合理论更进一步地提出在期望收益相同的情况下，收益的方差越小越好。我们在后面看到它与上面的效应函数理论是相容的。
2、Certainty equivalent wealth 和风险溢价
上面提到收益的不确定性会降低期望的效应值， Certainty equivalent wealth 和 risk premium 便是用来衡量此下降的幅度。
假设未来收益为一个随机变量$ X$ ，那么效应函数为$ \mathrm{E}U(X)$ ，其中这里和以下的$ \mathrm{E}$ 都指求期望。此时
它事实上是指$ X$ 对应一个多大的确定性收入。$ X$ 的风险溢价 risk premium 指它 Certainty equivalent wealth 和期望收益之间的差：
3、组合优化
这里的组合优化指通过调配在风险资产上的配置比例，最大化期望效应值。
为方便起见，假设$ v$ 为期末的无风险收益，$ X$ 为风险资产的期末超额收益（为一个概率分布），那么将$ \alpha$ 比例的资产投入风险资产时，组合的期末收益为$ v+\alpha X$ 。我们需要选取$ \alpha$ 使期末收益的 Certainty equivalent wealth 最大，即：
而$ U^{-1}(\mathrm{E}U(v+\alpha X))-v$ 即风险资产给投资者带来的超额收益。
显然，此处风险资产的配置比例$ \alpha$ 不仅与风险资产的收益情况相关，也与投资者的效应函数相关。下面定义几种常见的效应函数。
4、常见的效应函数
通常在做资产配置时需要知道投资者的风险偏好，事实上是指需要知道投资者的效应函数是什么样子。下面定义几种常见的效应函数。尽管投资者的效应函数千变万化，不可能被这仅有的几类所描述，但我们可以用这些常见的效应函数在局部上去拟合投资者的效应函数。
Constant absolute risk aversion (CARA)
CARA 效应函数满足
那么它只可能有一种形式：
此处$ a$ 被称为 coefficient of absolute risk aversion。对一个一般的效应函数$ U(x)$ ，我们用 CARA 效应函数去拟合（$ x$ 附近），此时得到的参数$ a$ 被称为 coefficient of local absolute risk aversion ，用$ A(x)$ 表示，那么可知道
如果考虑一个投资者目前持有无风险资产$ x$ ，那么为了接受一个方差为$ \sigma^2(\sigma\sim 0)$ 的波动，它需要一个风险溢价为$ A(v)\sigma^2$ ，此即著名的 Markowitz 组合优化目标：
其中常说的风险偏好参数$ \lambda$ 事实上是投资者的 coefficient of local absolute risk aversion。
Constant relative risk aversion （ CRRA ）
CRRA 效应函数满足
那么 CRRA 有表达式：
其中$ \gamma$ 被称为 coefficient of relative risk-aversion。同 CARA 类似，对任何一个效应函数可以定义 coefficient of local relative risk aversion ，它是在$ x$ 处局部拟合该效应函数的 CRRA 参数，用$ R(x)$ 表示，它与前面的 coefficient of local absolute risk aversion 的关系为：
它的倒数$ 1/R(v)$ 被称为 coefficient of relative risk tolerance。
Hyperbolic absolute risk aversion (HARA)
将上面 CARA 和 CRRA 更一般化便得到 HARA ：
Quadratic Utility
Quadratic utility 是$ \gamma=-1$ 的 HARA ：
5、配置比例的敏感性
上面在组合优化处已风险资产的配置比例$ \alpha$ 不仅与风险资产的收益情况相关，也与投资者的效应函数相关。投资者的风险厌恶程度增加，风险资产的配置比例将下降，它会下降多少呢？如果风险厌恶程度增加一倍，配置比例下降一半，还是下降到四分之一？配置风险资产带来的超额收益又将如何变化呢？
定理：局部地看，配置比例与 coefficient of local relative risk aversion 成反比；配置风险资产带来的超额收益与 coefficient of local absolute risk aversion 成反比。
6、Sharp Ratio
一个风险资产的 Sharp Ratio 被定义为
其中$ X$ 为风险资产的超额收益（概率分布），$ \mu$ 和$ \sigma$ 分别表示期望和标准差。
Sharp Ration 是衡量投资策略的绩效的最重要指标之一。它可以理解为一个衡量投资该风险资产跑赢无风险收益的概率的指标。但它的原始出发点并不是这个。
现在假设投资者的效应函数为 Quadratic Utility ，那么最优配置比例$ \alpha$ 和配置风险资产带来的超额收益$ r$ 满足：
也就是说 Sharp Ratio 指标本身就衡量了配置该风险资产带来的超额收益！
Q. E. D.
